3种最短路径算法大比拼：Dijkstra、Bellman-Ford与Floyd实战指南
项目地址: https://gitcode.com/GitHub_Trending/oi/OI-wiki 你是否还在为图论算法选型头疼？面对迷宫地图、路线规划等场景，如何快速找到最优路径？本文将通过3大经典算法对比，帮你彻底掌握最短路问题的核心解法，读完即可解决90%的路径规划难题。
算法原理速览
Dijkstra算法：非负权图的最优解
Dijkstra（迪杰斯特拉）算法采用贪心策略，通过优先队列维护当前最短路径节点。其核心思想是：每次从未确定最短路径的节点中选择距离起点最近的节点，松弛其邻接边并更新距离。该算法要求所有边权非负，时间复杂度为O(M log M)（优先队列实现）。
基础实现代码示例：
struct edge { int v, w; };
struct node { int dis, u; bool operator>(const node& a) const { return dis > a.dis; } };
vector<edge> e[MAXN];
int dis[MAXN], vis[MAXN];
priority_queue<node, vector<node>, greater<node>> q;
void dijkstra(int n, int s) {
memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
dis[s] = 0; q.push({0, s});
while (!q.empty()) {
int u = q.top().u; q.pop();
if (vis[u]) continue;
vis[u] = 1;
for (auto ed : e[u]) {
int v = ed.v, w = ed.w;
if (dis[v] > dis[u] + w) {
dis[v] = dis[u] + w;
q.push({dis[v], v});
}
}
}
}
Bellman-Ford算法：处理负权边的利器
Bellman-Ford（贝尔曼-福特）算法通过对所有边进行松弛操作来求解最短路，支持存在负权边的场景。其改进版SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）使用队列优化，仅对松弛过的节点进行处理，平均效率更高。算法可检测负环，时间复杂度为O(NM)。
SPFA实现代码示例：
from collections import deque
def spfa(n, s, e):
dis = [float('inf')] * (n + 1)
cnt = [0] * (n + 1)
vis = [False] * (n + 1)
q = deque()
dis[s] = 0
q.append(s)
vis[s] = True
while q:
u = q.popleft()
vis[u] = False
for v, w in e[u]:
if dis[v] > dis[u] + w:
dis[v] = dis[u] + w
cnt[v] = cnt[u] + 1
if cnt[v] >= n:
return "存在负环"
if not vis[v]:
q.append(v)
vis[v] = True
return dis
Floyd算法：全源最短路的矩阵解法
Floyd（弗洛伊德）算法采用动态规划思想，通过三重循环计算所有节点对之间的最短路径。算法实现简单，能处理负权边但无法处理负环，时间复杂度为O(N³)，适用于小规模图计算。
核心代码示例：
for (k = 1; k <= n; k++)
for (x = 1; x <= n; x++)
for (y = 1; y <= n; y++)
f[x][y] = min(f[x][y], f[x][k] + f[k][y]);
算法对比与场景选择
技术参数对比
| 算法 | 最短路类型 | 边权支持 | 负环检测 | 时间复杂度 | 空间复杂度 |
|---|---|---|---|---|---|
| Dijkstra | 单源 | 非负权 | 不能 | O(M log M) | O(N+M) |
| Bellman-Ford | 单源 | 任意 | 能 | O(NM) | O(N+M) |
| Floyd | 全源 | 不含负环 | 能 | O(N³) | O(N²) |
适用场景分析
- Dijkstra：导航系统路径规划、网络路由（如OSPF协议）等非负权图场景
- Bellman-Ford：存在负权边的网络流计算、金融衍生品定价模型
- Floyd：小规模图的多源路径分析、交通流量规划
实战案例：路径规划可视化
以下为含负权边的图在不同算法下的路径计算结果对比：
原图（含负权边）： 
边权调整后： 
当给所有边权加上常数时，Dijkstra算法可能得到错误结果，而Bellman-Ford能正确处理负权场景。实际应用中需根据数据特征选择合适算法。
优化技巧与注意事项
-
Dijkstra优化：
- 使用斐波那契堆可将复杂度降至O(M + N log N)
- 顶点数较少时可用线段树替代优先队列
-
Bellman-Ford优化：
- SLF优化：新节点距离小于队首时插入队首
- LLF优化：距离大于队列平均值时插入队尾
-
Floyd优化：
- 使用bitset优化传递闭包计算（O(N³/w)）
- 空间优化：采用滚动数组将三维降为二维
完整算法实现与更多优化技巧可参考图论算法实现目录下的示例代码。
总结与学习资源
最短路径算法是图论的基础，选择时需综合考虑图的规模、边权特性和计算资源。建议通过以下资源深入学习：
掌握这些算法不仅能解决路径规划问题，更能培养动态规划与贪心策略的设计思维。在实际开发中，结合问题特性选择最优算法，才能实现高效可靠的路径计算系统。
创作声明：本文部分内容由AI辅助生成（AIGC），仅供参考
