12、机器人运动学中的逆微分运动学、解析雅可比矩阵与逆运动学算法

机器人运动学中的逆微分运动学、解析雅可比矩阵与逆运动学算法

在机器人运动学的研究中，逆微分运动学、解析雅可比矩阵以及逆运动学算法是几个核心的内容，它们对于实现机器人的精确控制和运动规划具有重要意义。

1. 逆微分运动学

在逆微分运动学中，我们关注的是如何根据末端执行器的期望速度来求解关节速度。然而，这一过程存在一些关键问题，尤其是运动学奇异点的影响。

1.1 运动学奇异点

求解逆微分运动学的解（如公式(3.47)和(3.51)）时，要求雅可比矩阵具有满秩。当机器人处于奇异构型时，雅可比矩阵不满秩，此时系统$v_e = J\dot{q}$包含线性相关的方程，这些解就失去了意义。
- 若$v_e \in R(J)$，可以通过提取所有线性无关的方程来找到解$\dot{q}$，这意味着即使机器人处于奇异构型，指定的路径在物理上仍然是可执行的。
- 若$v_e \notin R(J)$，则方程组无解，即机器人在给定姿态下无法执行操作空间路径。

雅可比矩阵的求逆不仅在奇异点处会带来严重不便，在奇异点附近也会如此。例如，计算雅可比逆需要计算行列式，在奇异点附近，行列式的值相对较小，这可能导致关节速度过大。以拟人手臂的肩部奇异点为例，如果为末端执行器指定一条经过基座旋转轴附近（奇异构型的几何轨迹）的路径，基座关节需要在相对较短的时间内旋转约$\pi$，以允许末端执行器跟踪施加的轨迹。

为了更严格地分析奇异构型附近解的特征，可以采用矩阵$J$的奇异值分解（SVD）方法。

1.2 阻尼最小二乘法（DLS）逆

为了克服在奇异点附近求逆微分运动学的问题，可以采用所谓的阻尼最小二