快速幂和矩阵快速幂-优快云博客

本文详细介绍了快速幂的基本原理及其在编程中的应用，并通过示例代码进行了解释。此外，还介绍了矩阵快速幂的概念及其实现方法。

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快速幂

快速幂原理：就是把指数转化成二进制，并进行分解。

（参考资料：https://www.cnblogs.com/CXCXCXC/p/4641812.html）

举例：

$\large 11_{(10)}=1011_{(2)}\rightarrow a^{11}=a^{2^0+2^1+2^3}\rightarrow a^{11}=a^{2^0}\cdot a^{2^1}\cdot a^{2^3}$

算法原理其实和所想的那样大同小异，都是利用a的n次方等于n个a相乘。

int poww(int a, int b) {
    int ans = 1, base = a;
    while (b) {
        if (b & 1)
            ans *= base;
            base *= base;
            b >>= 1;
    }
    return ans;
}

其实想一想，每次操作是移除掉二进制数的最后一位（b>>=1），然后每一位的2是指数递增，所以base*base每一次操作都得有（第一次是 $1*a=a^1$ ，第二次就是 $a*a=a^2$ ，而第三次就是 $a^2*a^2=a^4$ ，奇妙），然而，答案并不是所有的base*base都需要，当然只有二进制位上是1的那里才需要（也就是&1操作的意义）。所以从最后一个式子可以看出来，a的指数操作是每一轮都要进行，而点乘操作在if条件满足情况下才进行。

矩阵快速幂

和快速幂意义，只不过，乘法变成了矩阵乘法。

手写一个 $O(n^3)$ 的矩阵乘法就可以！

（参考资料：https://blog.youkuaiyun.com/wust_zzwh/article/details/52058209）

const int N=10;
int tmp[N][N];
void multi(int a[][N],int b[][N],int n)
{
    memset(tmp,0,sizeof tmp);
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
        for(int k=0;k<n;k++)
        tmp[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
        a[i][j]=tmp[i][j];
}
int res[N][N];
void Pow(int a[][N],int n)
{
    memset(res,0,sizeof res);//n是幂，N是矩阵大小
    for(int i=0;i<N;i++) res[i][i]=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            multi(res,a,N);//res=res*a;复制直接在multi里面实现了；
        multi(a,a,N);//a=a*a
        n>>=1;
    }
}