算法-- 回溯算法及示例

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#回溯法 #1016 #素数环 #算法

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本文详细介绍回溯法这一通用解题方法，包括其基本思想、适用范围及典型问题应用。通过素数环问题实例，展示了如何构造状态空间树，并利用深度优先搜索策略高效解决问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

回溯法介绍

回溯法（英语：backtracking）也称试探法，回溯法有“通用的解题方法”之称。它可以系统的搜索一个问题的所有解或者任意解。

回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点

出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过

对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。回溯法在用来

求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题

的一个解就可以结束。这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题.

回溯法通常用最简单的递归方法来实现，在反复重复上述的步骤后可能出现两种情况：

1 .找到一个可能存在的正确的答案。

2. 在尝试了所有可能的分步方法后宣告该问题没有答案。

在最坏的情况下，回溯法会导致一次复杂度为指数时间的计算。

适用范围

在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。

适用范围：

1，问题的解用向量表示

X = (x1, x2, ..., xn)

2，需要搜索一个或一组解

3，满足约束条件的最优解

等

回溯法的基本思想

对于用回溯法求解的问题，首先要将问题进行适当的转化，得出状态空间树。这棵树的每条完整路径都代表了一种解的可能。通过深度优先搜索

这棵树，枚举每种可能的解的情况；从而得出结果。但是，回溯法中通过构造约束函数，可以大大提升程序效率，因为在深度优先搜索的过程中，

不断的将每个解（并不一定是完整的，事实上这也就是构造约束函数的意义所在）与约束函数进行对照从而删除一些不可能的解，这样就不必继续

把解的剩余部分列出从而节省部分时间。

回溯法中，首先需要明确下面三个概念：

1，约束函数：约束函数是根据题意定出的。通过描述合法解的一般特征用于去除不合法的解，从而避免继续搜索出这个不合法解的剩余部分。因此，

约束函数是对于任何状态空间树上的节点都有效、等价的。

2，状态空间树：刚刚已经提到，状态空间树是一个对所有解的图形描述。树上的每个子节点的解都只有一个部分与父节点不同。

3，扩展节点、活结点、死结点：所谓扩展节点，就是当前正在求出它的子节点的节点，在DFS中，只允许有一个扩展节点。活结点就是通过与约束函数

的对照，节点本身和其父节点均满足约束函数要求的节点；死结点反之。由此很容易知道死结点是不必求出其子节点的（没有意义）。

利用回溯法解题的具体步骤

首先，要通过读题完成下面三个步骤：

(1)描述解的形式，定义一个解空间，它包含问题的所有解，这一步主要明确问题的解空间树。

(2)构造状态空间树。

(3)构造约束函数（用于杀死节点）。

然后就要通过DFS思想完成回溯，具体流程如下：

(1)设置初始化的方案（给变量赋初值，读入已知数据等）。

(2)变换方式去试探，若全部试完则转(7)。

(3)判断此法是否成功（通过约束函数），不成功则转(2)。

(4)试探成功则前进一步再试探。

(5)正确方案还未找到则转(2)。

(6)已找到一种方案则记录并打印。

(7)退回一步（回溯），若未退到头则转(2)。

(8)已退到头则结束或打印无解。

总结起来就是:

针对所给问题，确定问题的解空间 --> 确定结点的扩展搜索规则--> 以DFS方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

回溯法基本框架

设问题的解是一个n维向量(a1,a2,………,an),约束条件是bi(i=1,2,3,…..,n)之间满足某种条件，记为f(bi)。

递归实现：

int a[n];
初始化数组a[]等操作  
 ...
void dfs(int cur)
{
	int i;
     if(cur>n)
       //统计、输出结果等;
      else
     {
        for(i = 下界; i <= 上界; ++i)  // 枚举i所有可能的路径
        {
           if(fun(i))                 // 满足限界函数和约束条件
              {
                 a[cur] = i;
                  ...                 // 其他操作,设置标志等
                 dfs(cur+1);
                 //回溯前的清理工作（如a[cur]置空值,标志置0等）;
              }
          }
      }
}

典型问题应用

素数环问题，hdoj1016：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1016

题目大意：

将从1到n这n个整数围成一个圆环，若其中任意2个相邻的数字相加，结果均为素数，那么这个环就成为素数环。

要求输出：从整数1开始。

分析问题，可以构造解空间树，比较顺利的想到 DFS 、回溯。

代码如下：

#include<stdio.h>
#include <string.h>

#define M 40

int isPrime[M];////素数表,下标为素数的置为1,否则0
int vis[M>>1];// vis 标识 1-n,是否被选
int res[M>>1];// 存储解向量

int cnt;// 测试样例个数

void prime()//求出1-40的所有素数
{
	int i, j;
	for(i=1; i<M; ++i)
	{
		int ok = 1;
		for(j=2; j*j<=i; ++j)
		{
			if(i%j == 0)
			{
				ok = 0;
				break;
			}
		}
		if(ok)
			isPrime[i]=1;

	}
}

void dfs(int cur, int n)
{
	int i;
	if(cur == n && isPrime[res[n-1] + res[0]])//别忘了测试边界，最后一个和第一个数 构成的环
	{
		for(i=0; i<n-1; ++i)
			printf("%d ", res[i]);
		printf("%d\n", res[i]);
	}
	else
	{
		for(i=2; i<=n; i++)// 尝试每个i, 1始终在排头,因此从2开始计算
		{
			if(!vis[i] && isPrime[res[cur-1] + i])// i未用过且和前一个数和为素数
			{
				res[cur] = i;
				vis[i] = 1; // 设置标志
				dfs(cur+1, n);
				vis[i] = 0; // 回溯, 清除标识
			}
		}
	}
}


int main()
{
	int n;
	//freopen("in.txt", "r", stdin);
	prime();
	cnt = 0;
	while(scanf("%d", &n) != EOF)
	{
		++cnt;
		printf("Case %d:\n", cnt);
		memset(vis, 0, sizeof(vis));
		res[0] = 1;
		dfs(1, n);
		printf("\n");
	}
	return 0;
}

代码中 prime()函数求出1-40的所有素数，因为只要测试 1-19 因此可以事前把1-38的素数存储到一个素数表里。这样计算时间更快。

下面是最近更新的回溯法的相关例子，http://blog.youkuaiyun.com/daniel_ustc/article/details/17041933。

参考：

http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%9B%9E%E6%BA%AF%E6%B3%95

http://www.newsjz.com/wxqgr/xxas/as2/sfjc/201103/337.html