算法导论学习笔记-第9章中位数和顺序统计学_算法导论学习笔记中位数-优快云博客

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本文介绍了如何使用分治算法在平均线性时间内找到第i小的元素，即顺序统计量，包括最小值和最大值的查找，以期望线性时间进行选择的RANDOMIZED-SELECT算法及其改进版本SELECT算法，后者可在最坏情况下实现线性时间复杂度。

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在一个由n个元素组成的集合中，第i个顺序统计量是该集合中第i小的元素。

9.1 最小值和最大值

找最小值：依次查看集合中的每个元素，并记录比较过程中的最小元素。

MINIMUM(A) min = A[1] for i=2 to length[A] do if min > A[i] then min = A[i] return min

同时找出最小值和最大值：先将一对输入元素互相比较，然后把较小者与当前最小值比较，把较大者与当前最大值比较，因此每两个元素需要3次比较，总的比较次数为3[n/2]。

#include <stdio.h> void min_max(int a[],int n,int *pmin,int *pmax) { int i; if (n & 1) //n is odd { *pmin = *pmax = a[0]; i = 1; } else //n is even { if(a[0] < a[1]) { *pmin = a[0]; *pmax = a[1]; } else { *pmin = a[1]; *pmax = a[0]; } i = 2; } for(; i < n - 1; i+=2) { if(a[i] < a[i + 1]) { if(a[i] < *pmin) *pmin = a[i]; if(a[i + 1] > *pmax) *pmax = a[i + 1]; } else { if(a[i] > *pmax) *pmax = a[i]; if(a[i + 1] < *pmin) *pmin = a[i + 1]; } } } int main() { int a[] = {4,5,7,1,2,4,3,8,8,9,10,3,12,2,14}; int n = 15; int min,max; min_max(a,n,&min,&max); printf("min = %d/nmax = %d/n",min,max); return 0; }

9.2 以期望线性时间做选择

分治算法RANDOMIZED-SELECT：以快速排序算法为模型，对输入数组进行递归划分。和快速排序不同的是，快速排序会递归处理划分的两边，而RANDOMIZED-SELECT只处理划分的一边。

RANDOMIZED-SELECT(A,p,r,i) if p=r then return A[p] q = RANDOMIZED-PARTITION(A,p,r) k = q-p+1 if i=k then return A[q] elseif i then return RANDOMIZED-SELECT(A,p,q-1,i) else return RANDOMIZED-SELECT(A,q+1,r,i-k)

C代码：

#include <stdio.h> void swap(int *x ,int *y) { int temp; temp = *x; *x = *y; *y = temp; } int partition(int a[],int p,int r) { int x = a[r]; int i = p - 1; int j; for(j = p; j < r; j++) { if(a[j] <= x) { i++; swap(&a[i],&a[j]); } } swap(&a[i+1],&a[r]); return i+1; } int select(int a[],int p,int r,int i) { int q,k; if(p == r) return a[p]; q = partition(a,p,r); k = q - p + 1; if(i == k) return a[q]; else if(i < k) return select(a,p,q-1,i); else return select(a,q+1,r,i-k); } int main() { int a[] = {13,19,9,5,12,8,7,21,2,6,11,4}; int size = 12; int i; int key; for(i = 0; i < size; i++) printf(" %d",a[i]); printf("/n"); key = select(a,0,size-1,1); printf("%d/n",key); return 0; }

最坏情况运行时间为θ(n^2)，平均情况为O(n)。