NKOI 1873 COW XOR奶牛异或

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本文探讨了USACO竞赛中的CowXOR问题，该问题要求找到连续奶牛序列，使得其附加值的异或结果最大。通过使用前缀异或优化和Trie树来快速查询异或结果，最终实现高效求解。

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Cow XOR奶牛异或

Time Limit:10000MS Memory Limit:65536K
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Case Time Limit:500MS

Description

农民约翰在喂奶牛的时候被另一个问题卡住了。他的所有N(1 <= N <= 100,000)个奶牛在他面前排成一行(按序号1..N的顺序)，按照它们的社会等级排序。奶牛#1有最高的社会等级，奶牛#N最低。每个奶牛同时被指定了一个不唯一的附加值，这个数在0..2^21 - 1的范围内。
帮助农民约翰找出应该从哪一头奶牛开始喂，使得从这头奶牛开始的一个连续的子序列上，奶牛的附加值的异或最大。
如果有多个这样的子序列，选择结尾的奶牛社会等级最高的。如果还不唯一，选择最短的。

Input

第1行:一个单独的整数N。
第2到N + 1行:N个0..2^21 - 1之间的整数，代表每头奶牛的被赋予的数。第j行描述了社会等级j - 1的奶牛。

Output

第 1 行: 3个空格隔开的整数，分别为：最大的异或值，序列的起始位置、终止位置。时限0.5秒

Sample Input

Sample Output

6 4 5

Hint

最大异或值为6，从第4个开始喂，到第5个结束。
4 异或 2 = 6
(100) 异或 (010) = (110)

Source

【USACO6.1.3】

由于异或运算与加法运算类似，都可以用前缀存储，想到用前缀异或优化，即f[i]=a[1]^a[2]^……^a[i].

分析：

j从1到n依次枚举每个数字，a[j]与哪一个a[i]异或的值最大呢？(1<=i<=j-1)
把a[1]到a[j-1]按二进制位插入到trie中，最高位与根相连，最低位为叶子节点。
原本应该让a[j]与a[1]到a[j-1]依次取异或，时间复杂度太高，不可取。
考虑用贪心的方法，让异或后的高位尽可能为1，所以在查询trie时，
尽量选让高位异或结果为1的路线，实在不行才选为0的路线往叶子节点走。
每次查询的时间复杂度为O(20)

#include<cstdio>
#include<iostream> 
const int m=20;
int n;
int f[200005]; 
struct node{int kid[2],num;}trie[2000005];
int tot=1;
void insert(int k){//插入函数
     int t=1,i;
     for(i=m;i>=0;i--){//从最高位开始讨论存储
         int now=(f[k]>>i)&1;//取出高位
         if(trie[t].kid[now]==0)
             trie[t].kid[now]=++tot;
         t=trie[t].kid[now];
     }
     trie[t].num=k;
}
int find(int k){//查询函数(查找与当前数异或值最大的数)
    int t=1,i;
    for(i=m;i>=0;i--){
        int now=1-(f[k]>>i)&1;//尽量找与当前数相反的数使异或值最大
        if(trie[t].kid[now]!=0)t=trie[t].kid[now];
        else t=trie[t].kid[1-now];
    }
    return trie[t].num;
} 
int main(){
     scanf("%d",&n);
     int i,x;
     int s=1,t=1;
     for(i=1;i<=n;i++){
     	scanf("%d",&x);
     	f[i]=f[i-1]^x;
     }
     int ans=f[1];
     insert(1);
     for(i=2;i<=n;i++){
         int p=find(i);
         if((f[i]^f[p])>ans){
            ans=f[i]^f[p];
            s=p+1;
            t=i;
         }
         insert(i);
     }
     printf("%d %d %d",ans,s,t);
}