组合排序题目汇总(排列组合、卡特兰数和递归思想)

排列组合

矩阵走法

在6×9的方格中，以左上角为起点，右下角为终点，每次只能向下走或者向右走，请问一共有多少种不同的走法。

解题思路：

一共走13步，必然向下要走五步，向右要走8步。所以在13步中选择5步或者8步进行组合即可，公式如下：

A必须在B左边站队

ABCDEFG七人站队，要求A必须在B的左边，但不要求一定相邻，请问共有多少种排法？第二问如果要求A必须在B的左边，并且一定要相邻，请问一共有多少种排法？

解题思路：

1. 第一问：
   七个人一共有 7! 种排列方法，其中一半情况为A在B的左边，还有一半情况为A在B的右边，所以A必须在B的左边且不一定相邻的排法为： 7!/2 = 2520 种。
2. 第二问
   题目要求A必须在B的左边并且一定要相邻，所以AB可以看成是一个人，即只需要求6个人的全排列即可：6! = 720 种。

互不相邻站队

六个人排成一排，要求甲与乙不相邻，并且甲与丙不相邻的排法数是多少？

解题思路：

1. 方法一：
   六个人一共有 6! = 720 种排列方法，甲与乙相邻共有 5! + 5! = 240 种排列方法(甲乙看成一个人，乙甲看成一个人)，同理，甲与丙相邻也有5! + 5! = 240 种排列方法。
   甲与乙相邻和甲与丙相邻中还有交集，即 乙甲丙 和 丙甲乙：在甲乙和丙甲排列方法中，丙甲乙出现了两次；在乙甲和甲丙排列方法中，乙甲丙出现了两次，所以要加上重复减去的这一部分，即 4! + 4! = 48。
   所以，甲与乙不相邻，并且甲与丙不相邻的排法数为：720 - 240