埃及分数:IDA星算法

本文探讨如何使用迭代加深搜索(IDA*)算法解决埃及分数分解问题,旨在找到将非单位分数分解为单位分数之和的最优解。通过限制搜索深度并利用剪枝策略,避免了无限大的解答树。在C++程序中,实现该算法,通过比较当前解与最优解,不断调整深度上限以找到最优的分解方案。

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埃及分数问题:

将一个分数(非单位分数:单位分数是分子是1,分母是自然数)分解成若干个单位分数的和,输出最优的分解方案。

首先:分解的项数少的比多的好,项数相同,最小的分数最大的最好。注意不准出现重复项

思路解析:

理论上可以用回溯法求解,但是解答树没有明显的深度上限,而且项数在理论上是无限的。如果用宽搜,连一层都扩展不完,因为每一层都是无限大的。

对于:可以用回溯法求解但是解答树的深度没有明显上限的题目,使用迭代加深搜索算法。从小到大枚举深度上限maxd(注意深度视为从0开始,即深度为1的时候,有两层,即有两个分解项)。每次执行只考虑深度不超过maxd的结点,这样,只要解的深度有限,则一定可以在有限的时间内枚举到结果。深度上限maxd可以用来“剪枝”:按照分母递增的顺序来扩展,如果扩展到第I层时,前I个分数的和为C/D,第I个分数为1/E,则接下来至少还需要(A/B-C/D)/(1/E)个分数,总和才能达到A/B。即:估计出至少还需要多少步才能求出解。

设深度上限为maxd,当前节点的深度为g(n),乐观估计函数为 f(n),则当 g(n)+f(n)>maxn时应该剪枝。即IDA*算法

程序首先找到存在可行解的最大深度(项数少的优先级最高),然后在该最大深度下不断地减小前面分解项的大小,来使得在项数不变的情况下最后一项最大

 

#include<cstring> //使用memcpy函数

#include<iostream>

using namespace std;

 

int a, b, maxd;

typedef long long LL;

int kase = 0;

 

LL gcd(LL a, LL b) //求两数的最大公约数算法

{

   return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);

}

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