剑指Offer算法实现之九：斐波那契数列

题目：写一个函数，输入n，求斐波那契数列的第n项。斐波那契数列的定义如下：

思路：
① 可用直接将上述公式翻译成递归函数版本。但算法复杂度是指数级的，且不能写成尾递归的形式
② 可用循环迭代解决

编译环境：ArchLinux+Clang3.3，C++11

实现一：迭代版本。时间复杂度O(n)

#include <iostream>
#include <stdexcept>
using namespace std;

long long Fib(unsigned n)
{
    if (n == 0)
        return 0;
    if (n == 1)
        return 1;
    long long fibN_1 = 1;
    long long fibN_2 = 0;
    long long fibN = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        fibN = fibN_1 + fibN_2; // 本次计算
        /** 为下次迭代准备  **/
        fibN_2 = fibN_1;
        fibN_1 = fibN;
    }
    return fibN;
}

int main()
{
    cout << Fib(0) << endl;
    cout << Fib(1) << endl;
    cout << Fib(2) << endl;
    cout << Fib(3) << endl;
    cout << Fib(4) << endl;
    cout << Fib(5) << endl;
    cout << Fib(6) << endl;
    cout << Fib(7) << endl;
}

实现二：O(logn)解法(不实用)。常数因子大

使用如下公式：

实现代码如下(C99变长数组)：对矩阵的n次方进行了优化

#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
/** 矩阵乘法：r = a*b **/
void matMult(int m, int k, int n, long long r[m][n], long long a[m][k], long long b[k][n]);
/** 复制矩阵：dst = src **/
void matCpy(int m, int n, long long dst[m][n], long long src[m][n]);
/** 计算Fib **/
long long Fib(unsigned n)
{
    if (n == 0)
        return 0;
    if (n == 1)
        return 1;
    long long a[][2] = {{1,1},{1,0}};
    long long r[][2] = {{1,1},{1,0}};
    long long tmp[][2] = {{}, {}};
    int m = 2;
    unsigned mask = (1U << 31);
    n -= 1;
    while (!(mask&n)) { // 移动到二进制最高有效位
        mask >>= 1;
    }
    mask >>= 1; // 循环初始状态
    while (mask) {
         matMult(m, m, m, tmp, r, r);
         matCpy(m, m, r, tmp);
        if (n & mask) { // 当前二进制位为1
            matMult(m, m, m, tmp, r, a);
            matCpy(m, m, r, tmp);
        }
        mask >>= 1;
    }
    return r[0][0];
}
void matMult(int m, int k, int n, long long r[m][n], long long a[m][k], long long b[k][n])
{
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            r[i][j] = 0;
            for (int kk = 0; kk < k; kk++) {
                r[i][j] += a[i][kk] *  b[kk][j];
            }
        }
    }
}
void matCpy(int m, int n, long long dst[m][n], long long src[m][n])
{
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            dst[i][j] = src[i][j];
        }
    }
}

int main()
{
    printf("%lld\n", Fib(0));
    printf("%lld\n", Fib(1));
    printf("%lld\n", Fib(2));
    printf("%lld\n", Fib(3));
    printf("%lld\n", Fib(4));
    printf("%lld\n", Fib(5));
    printf("%lld\n", Fib(6));
    printf("%lld\n", Fib(7));
}