codeforces55D（数位DP）

最新推荐文章于 2024-07-25 04:51:21 发布

ten_three

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分类专栏：数位DP 文章标签： codeforces dp

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/ten_three/article/details/18515129

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本文解析了CodeForces D题“Beautiful numbers”，介绍了题目要求和高效解题思路。通过三维动态规划方法，在限定时间和空间内求解特定范围内美丽数的数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

地址：http://codeforces.com/problemset/problem/55/D

Volodya is an odd boy and his taste is strange as well. It seems to him that a positive integer number is beautiful if and only if it is divisible by each of its nonzero digits. We will not argue with this and just count the quantity of beautiful numbers in given ranges.

Input

The first line of the input contains the number of cases t (1 ≤ t ≤ 10). Each of the next t lines contains two natural numbers li and ri (1 ≤ li ≤ ri ≤ 9 ·1018).

Please, do not use %lld specificator to read or write 64-bit integers in C++. It is preffered to use cin (also you may use %I64d).

Output

Output should contain t numbers — answers to the queries, one number per line — quantities of beautiful numbers in given intervals (from li to ri, inclusively).

       Sample test(s)
     
         input
       
1
1 9

         output
       
9

         input
       
1
12 15

         output
       
2

题意：找在区间内的beautiful number的数量，beautiful number的要求是概数能被其每一位数字整除。

思路：本来我想开四维数组，一个是数字位数，一个是首位数字，一个是各数位最小公倍数，一个是当前数字对这个最小公倍数的余数。这里有个难点在于如果最小公倍数改变了，那么以前保留的余数该怎么变化，所以要再开一维记录除数。但开5维数组不仅超空间，还超时间，所以就放弃了。看了下大神的优化，主要想法没变，但是处理起来就不一样了。建立三维数组，一个记录数字位数，一个记录各数位最小公倍数，一个记录当前几位数除以1~9的最小公倍数2520的余数。这里要开2520平方大的数组，太大了，所以离散一下1~9的最小公倍数，而且当前位数除以2520的余数可以看成当前位数除以252的余数（注意最后一位的处理）。这样既省时又省空间。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
#define LL __int64
LL dp[20][50][255];  //三维记录数组
int num[20],a[2550],b[255][10]={0};
int gcd(int a,int b)
{
    if(!b) return a;
    else return gcd(b,a%b);
}
int lcm(int a,int b)
{
    return a*b/gcd(a,b);
}
LL dfs(int len,int m,int n,bool p)  //len是数字位数，m是最小公倍数，n是对2520的余数
{
    if(!len) return n%m==0;
    if(!p&&dp[len][a[m]][n]>=0) return dp[len][a[m]][n];
    int maxx=p?num[len]:9;
    LL ans=0;
    for(int i=0;i<=maxx;i++)
        ans+=dfs(len-1,i?lcm(m,i):m,len==1?n*10+i:b[n][i],i==maxx&p);
    if(!p) dp[len][a[m]][n]=ans;
    return ans;
}
LL getans(LL m)
{
    int len=0;
    for(;m;m/=10)
        num[++len]=m%10;
    return dfs(len,1,0,1);
}
int main()
{
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    for(int i=1,j=0;i<=2520;i++)
        a[i]=2520%i?0:++j;  //对最小公倍数的离散
    for(int j=0;j<10;j++)
        for(int i=0;i<252;i++)
            b[i][j]=(i*10+j)%252;  //这里是处理余数
    int t;
    LL m,n;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%I64d%I64d",&m,&n);
        printf("%I64d\n",getans(n)-getans(m-1));
    }
    return 0;
}