19、递归函数：理论与应用

递归函数：理论与应用

1. 引言

递归函数是计算理论和数理逻辑中的重要概念，它不仅提供了描述和分析计算过程的工具，还揭示了计算的本质。递归函数的研究始于20世纪初，随着图灵机和其他计算模型的提出，递归函数逐渐成为理解可计算性的重要工具。本文将详细介绍递归函数的基本定义、性质及其在计算理论中的应用。

2. 递归函数的基础定义

递归函数是通过递归和组合构造的函数类。它们可以分为几类：初等函数、原始递归函数和μ-递归函数。首先，我们介绍最基础的初等函数。

2.1 初等函数

初等函数是最简单的递归函数，主要包括以下几种：

• 零函数 ：$Z(x) = 0$
• 后继函数 ：$S(x) = x + 1$
• 投影函数 ：$P_i^n(x_1, x_2, …, x_n) = x_i$

这些函数是构建更复杂递归函数的基础。

2.2 通过递归和组合构造函数

递归函数可以通过以下方式构造：

• 递归定义 ：给定一个函数$f$和一个二元函数$g$，可以通过递归定义一个新的函数$h$：

$$ h(0, \vec{x}) = f(\vec{x}) $$
$$ h(y + 1, \vec{x}) = g(y, h(y, \vec{x}), \vec{x}) $$