12、电磁学中的有限元方法基础

电磁学中的有限元方法基础

1. 矢量场

1.1 坐标系

• 笛卡尔坐标系 ：在笛卡尔坐标系中，矢量 $\bar{A}$ 可由其在正交坐标轴上的投影定义，即 $\bar{A} = A_x \cdot \bar{u}_x + A_y \cdot \bar{u}_y + A_z \cdot \bar{u}_z$，其中 $\bar{u}_x$、$\bar{u}_y$ 和 $\bar{u}_z$ 是与正交轴 $x$、$y$ 和 $z$ 对齐的单位矢量。
• 圆柱坐标系 ：圆柱坐标系适用于具有圆柱对称性的场。矢量的应用点 $P(r, \theta, z)$ 由圆柱半径 $r$、与 $x$ 轴的夹角 $\theta$ 和高度 $z$ 定义。单位矢量为 $\bar{u} r$、$\bar{u} \theta$ 和 $\bar{u} z$，笛卡尔坐标系和圆柱坐标系之间的变换矩阵为：
  [
  \begin{pmatrix}
  A_r \
  A \theta \
  A_z
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
  \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \
  \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \
  0 & 0 & 1
  \end{pmatrix}
  \cdot
  \begin{pmatrix}
  A_x \
  A