16、正定（半）定矩阵的深入剖析

正定（半）定矩阵的深入剖析

1. 基本概念与性质

正定（半）定矩阵在矩阵理论中占据着重要地位。对于一个正定矩阵 (A) 和对称矩阵 (B)，存在非奇异矩阵 (T) 和对角矩阵 (\Lambda)，使得 (A = T T’) 且 (B = T \Lambda T’)。若 (A) 是秩为 (r>0) 的实 (m\times n) 矩阵，还存在奇异值分解 (A = S\Lambda^{1/2}T’)，其中 (S’S = T’T = I_r)，(\Lambda) 是 (r\times r) 对角矩阵且对角元素为正；若 (rk(A) = n)，则有极分解 (A = P V)，其中 (P) 是半正交矩阵，(V) 是正定矩阵。

2. 二次型相关性质

• 对称性与二次型 ：对于任意方阵 (A)，有 (x’Ax = x’\frac{A + A’}{2}x)。这表明在研究二次型时，可将矩阵限定为对称矩阵，不失一般性。
• 二次型的矩阵表示 ：
  • 对于 (x^2 + y^2 -xy)，其对称矩阵表示为 (\begin{pmatrix}1 & -\frac{1}{2}\ -\frac{1}{2} & 1\end{pmatrix})，该二次型为正，矩阵是正定的。
  • 对于 (4x^2 + 5y^2 + z^2 + 2xy + 2yz)，对称矩阵为 (\begin{pmatrix}4 & 1 & 0\ 1 & 5 & 1\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix})，矩阵是