13、对称矩阵与三角矩阵的特征值、特征向量及相关性质

对称矩阵与三角矩阵的特征值、特征向量及相关性质

1. 对称矩阵的特征值与特征向量

在矩阵理论中，对称矩阵具有许多独特且重要的性质。我们将从特征值和特征向量的角度来深入探讨这些性质。

1.1 对称矩阵的实特征值

对称矩阵的一个显著性质是其特征值为实数。设 (Ax = \lambda x)，两边同时左乘 (x^ )，得到 (x^ Ax = \lambda x^ x)。对其取共轭转置，有 (x^ A^ x = \lambda^ x^ x)。由于对称矩阵满足 (A^ = A)，所以 (\lambda^ x^ x = \lambda x^ x)，进而得出 (\lambda^ = \lambda)，这表明 (\lambda) 是实数。对于埃尔米特矩阵，该结论同样成立，对称矩阵作为实埃尔米特矩阵的特殊情况，自然也满足这一性质。

1.2 复对称矩阵的特征值

并非所有满足 (A’ = A) 的复矩阵 (A) 的特征值都是实数。例如矩阵 (A = \begin{pmatrix}1 & i \ i & 1\end{pmatrix})，通过求解特征方程 ((1 - \lambda)^2 = -1)，可得其特征值为 (1 \pm i)。

1.3 对称正交矩阵的特征值

对称正交矩阵的特征值只能是 (1) 和 (-1)。已知正交矩阵的所有特征值的模为 (1)，即若 (\lambda = a + ib) 是特征值，则 (a^2 + b^2 = 1)。又因为矩阵是对称的，其特征