8、矩阵的秩、逆与行列式及分块矩阵相关知识

矩阵的秩、逆与行列式及分块矩阵相关知识

矩阵秩、逆与行列式基础

在矩阵运算中，行列式是一个重要的概念。若$|A|\neq 0$且$|B|\neq 0$，则存在一些特定的运算结果。而当$A$或$B$（或两者）为奇异矩阵时，证明需要额外步骤。

对于表达式$\phi := |A||B|$，$F := B^#A^#$，$G := (AB)^#$，它们都是$A$和$B$的$2n^2$个元素的多项式。由于$\phi F = \phi G$且$\phi$不恒为零，所以$F = G$。

另一种证明$A$或$B$（或两者）为奇异矩阵情况的方法基于连续性论证。考虑矩阵$A(\epsilon) := A + \epsilon I$和$B(\epsilon) := B + \epsilon I$，我们总能选择$\delta > 0$，使得对于每个$0 < \epsilon < \delta$，$A(\epsilon)$和$B(\epsilon)$都为非奇异矩阵。因此，对于每个$0 < \epsilon < \delta$，有$(A(\epsilon)B(\epsilon))^# = (B(\epsilon))^#(A(\epsilon))^#$。当$\epsilon \to 0$时，即可得到相应结果。

下面通过一个具体例子来求矩阵的逆。已知矩阵$A$为：
[
A =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \
4 & 5 & 3 \
1 & 0 & 2
\end{pmatrix}
]
我们需要先求出其行列式