3、向量与矩阵知识全解析

向量与矩阵知识全解析

1. 复向量相关知识

在复向量的领域中，有诸多重要的概念和性质值得我们深入探究。

1.1 一些基本问题的解答

• 对于 $\langle\mathbf{i}, \mathbf{x}\rangle$ 被称为和向量，是因为 $\langle\mathbf{i}, \mathbf{x}\rangle = \sum_{i} x_i$。若 $\mathbf{i}$ 是 $m$ 阶向量，那么 $|\mathbf{i}| = \sqrt{m}$。
• 对于复数 $u = a + ib$ 和 $v = c + id$（其中 $a, b, c, d$ 为实数，$i^2 = -1$），有以下性质：
  • 对于任意实标量 $\lambda$，$\lambda u = (\lambda a) + i(\lambda b)$，这可直接由复数的定义得到。
  • $uv = vu$ 且 $u + v = v + u$。因为 $uv = (ac - bd) + i(ad + bc) = (ca - db) + i(cb + da) = vu$，$u + v = (a + c) + i(b + d) = (c + a) + i(d + b) = v + u$。
  • 当 $v \neq 0$ 时，$\frac{u}{v} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} - i\frac{ad - bc}{c^2 + d^2}$。推导过程为 $\frac{u}{v} = \frac{a + ib}{c + id} = \frac{(a + ib)(c - id)}{(c + id)(