浅谈 FHQ Treap

浅谈 FHQ Treap

简单介绍

FHQ Treap,以下简写为 $fhq$，是一种treap(树堆)的变体，功能比treap强大。
$fhq$ 不需要通过一般平衡树的左右旋转来保持平衡，而是通过分裂 $split$和合并 $merge$ 来实现操作。

优点是比较好理解、代码短、上手快、可持久化

主要是不用像 $splay$ 一样旋来旋去。

Treap比较好玩的一点是，它整体是拥有二叉搜索树的性质，但是它的每一个节点都会有一个附加权值，它的附加权值是符合堆的性质。

这样我们可以明显看出，这棵树的形态(平衡与否)是由这个附加权值决定的。

那我们该如何取这个权值呢？随机！！

是的，我们每次都随机一个权值作为它的附加权值，那么它就大概是平衡的。

只需要两个基础操作，就可以达到splay的所有功能

前置操作

结构

对于每个树上节点开一个结构体，维护左儿子、右儿子、两个权值、还有子树中的节点个数。

然后给定一个树上的权值 $v$​ ，新建节点，还有更新子树大小 $update$。

struct fhq {
   
    int l , r , v , t , sz;
} tr[N];
void update (int x) {
    tr[x].sz = 1 + tr[tr[x].l].sz + tr[tr[x].r].sz; }
int new_pos (int v) {
   
    tr[++pos].sz = 1;
    tr[pos].v = v;
    tr[pos].t = rnd ();
    return pos;
}

$rnd()$ 是随机数生成函数，需要搞一个预处理

std::mt19937 rnd(233);

分裂 split

这个的主要思想就是把一个 $treap$ 按照一个权值 $v$ 分成两个。

把所有小于等于 $v$ 的分到一棵树中，把所有大于 $v$ 的分到另一棵树中，如下图。

可以对照代码感性理解一下

void split (int now , int k , int &x , int &y) {
   
    if (now == 0) x = y = 0;
    else {
   
        if (tr[now].v <= k) 
            x = now , split (tr[now].r , k , tr[now].r , y);
        else 
            y = now , split (tr[now].l , k , x , tr[now].l);
        update (no