Fib 性质 Gcd(f[n],f[m]) = f(gcd(n,m))

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本文探讨了斐波那契数列的几个重要性质，包括互质性、线性组合公式以及整除性，并通过欧几里得算法证明了这些性质。最后给出了斐波那契数列的最大公约数的特性。

摘要生成于 C知道 ，由 DeepSeek-R1 满血版支持， 前往体验 >

a) gcd(fn, fn-1) = 1, for all n 

b) fm+n = fm+1 fn + fm fn-1 
c) if m divides n, then fm divides fn 
and the ever important Euclidean Algorithm which states: 

if n=qm+r, then gcd(n,m)=gcd(m,r). For such n,m we have

gcd(fm,fn) = gcd(fm,fqm+r) = gcd(fm,fqm+1fr+fqmfr-1) = gcd(fm,fqm+1fr) = gcd(fm,fr)

gcd(fn,fm)=gcd(fm,fr)


性质a,更相减损法即可证。

性质b,展开即显然。

由性质b和性质a，即可证得gcd(fm,fn) = fgcd(m,n).

关于斐波那契公约数
.
03-05 2万+
在具体数学上面看到过这个公式 gcd(fn,fm)=f(gcd(n,m))
【学习笔记】关于最大公约数(gcd)的定理
suncongbo's blog
10-04 2033
结论1 gcd⁡(xa−1,xb−1)=xgcd⁡(a,b)−1\gcd(x^a-1,x^b-1)=x^{\gcd(a,b)}-1gcd(xa−1,xb−1)=xgcd(a,b)−1 证明: 采用数学归纳法。 令a=kb+pa=kb+pa=kb+p, 则有gcd⁡(xa−1,xb−1)=gcd⁡(xkb+p−1,xb−1)=gcd⁡(xp(xkb−1)+xp−1,xb−1)=gcd⁡(xp−1,x...
斐波那契数性质 gcd(F[n],F[m])=F[gcd(n,m)]
weixin_30947043的博客
05-20 440
引理1 结论： \[F(n)=F(m)F(n-m+1)+F(m-1)F(n-m)\] 推导： \[ \begin{aligned} F(n) &= F(n-1)+F(n-2) \\ &= 2F(n-2)+F(n-3) \\ &= 3F(n-3)+2F(n-4) \\ &= 5F(n-4)+3F(n-5) \\ ...
Fib的奇怪定理 ： gcd(F[n],F[m])=F[gcd(n,m)]
weixin_30391339的博客
12-16 329
引理1：gcd(F[n],f[n-1])=1 因为 F[n]=f[n-1]+F[n-2] 所以 gcd(F[n],f[n-1]) =gcd(F[n-1]+F[n-2],F[n-1]) gcd的更损相减的性质可知 gcd(a,b)=gcd(b,a-b) 故gcd(F[n],f[n-1]) = gcd(F[n-1],F[n-2]) 而 F[1]=F[2]=1故该定理成立 ...
斐波那契数最小公因数性质：gcd(F[n],F[m])=F[gcd(n,m)]
黄佳俊的博客
05-31 715
引理1 结论：F(n)=F(m)F(n−m+1)+F(m−1)F(n−m) 推导： F(n) =F(n−1)+F(n−2) =2F(n−2)+F(n−3) =3F(n−3)+2F(n−4) =5F(n−4)+3F(n−5) =⋯ =F(m)F(n−m+1)+F(m−1)F(n−m) 看出系数的规律了，2=1+1，3=2+1，5=3+2，…… 用数学归纳法严谨证明一下： 1）当m=2时，F(n)=F(2)F(n−2+1)+F(2−1)F(n−2)=F(n−1)+F(n−2)成立。
洛谷P1306 斐波那契公约数
单精度的梦
01-24 612
题目描述 对于Fibonacci数列：1,1,2,3,5,8,13……大家应该很熟悉吧~~~但是现在有一个很“简单”问题：第n项和第m项的最大公约数是多少？ 输入格式： 两个正整数n和m。（n,m<=10^9） 注意：数据很大 输出格式： Fn和Fm的最大公约数。 由于看了大数字就头晕，所以只要输出最后的8位数字就可以了。 这里用到一个数xuan学概念，叫斐波那契...
# U501347 「Stoi2025」爱的飞行日记 ## 题目背景 ![](bilibili:BV1fx411N7bU?page=125) ## 题目描述 $t$ 组询问，每次询问给定正整数 $n,m$，计算 $$\prod_{a_1=1}^{m}\prod_{a_2=1}^{m}\cdots\prod_{a_n=1}^{m}\operatorname{lcm}(f_{a_1},f_{a_2},\dots,f_{a_n})\bmod{37426667}$$ 的值。其中 $f_i$ 是斐波那契数，满足 $f_1=f_2=1$，且 $f_i=f_{i-1}+f_{i-2},\forall n\ge3$。 ## 输入格式 第一行输入一个正整数 $t$ 表示询问组数。 接下来 $t$ 行，每行两个正整数 $n,m$ 表示一次询问。 ## 输出格式 每次询问输出一行一个整数表示答案。 ## 输入输出样例 #1 ### 输入 #1 ``` 2 1 3 2 3 ``` ### 输出 #1 ``` 2 32 ``` ## 说明/提示 #### 样例解释 对于第一组询问，有答案为 $f_1f_2f_3=1\times1\times2=2$。 对于第二组询问，当 $a_1,a_2\in\{1,2\}$ 时 $\operatorname{lcm}(f_{a_1},f_{a_2})=1$，否则 $\operatorname{lcm}(f_{a_1},f_{a_2})=2$。故答案为 $2^5=32$。 #### 数据范围与限制 **本题采用捆绑测试，各 Subtask 的限制与分值如下。** | Subtask No. | $t\le$ | $n\le$ | $m\le$ | 分值 | | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | | $1$ | $1$ | $2$ | $2 \times 10^3$ | $13$ | | $2$ | $5$ | $2 \times 10^5$ | $2 \times 10^5$ | $24$ | | $3$ | $5$ | $2 \times 10^7$ | $2 \times 10^7$ | $36$ | | $4$ | $300$ | $2 \times 10^{17}$ | $2 \times 10^7$ | $27$ | 对于所有数据，满足 $1 \le t \le 300, 1 \le n \le 2 \times 10^{17}, 1 \le m \le 2 \times 10^7$。 #include<bits/stdc++.h> #define md 37426667 #define int unsigned long long using namespace std; inline int in() { int k=0,f=1; char c=getchar(); while(c<'0'||c>'9') { if(c=='-') f=-1; c=getchar(); } while(c>='0'&&c<='9') k=k*10+c-'0',c=getchar(); return k*f; } inline int out(int a) { if(a<0) putchar('-'),a=-a; if(a<10) putchar(a+'0'); else out(a/10),putchar(a%10+'0'); return 0; } inline int gcd(int a,int b) { while(b){ int t=b; b=a%b; a=t; } return a; } int lcm(int a,int b) { return (a/gcd(a,b))*b%md; } int fib[20000005]; main() { int t=in(); fib[1]=fib[2]=1; for(int i=3; i<=20000000;i++) fib[i]=(fib[i-1]+fib[i-2])%md; while(t--) { int n=in(),m=in(); int ans=1; if(n==1) for(int i=1; i<=m; i++) ans=(ans*fib[i])%md; else if(n==2) { for(int xx=1; xx<=m; xx++) { for(int yy=1; yy<=m; yy++) { ans=(ans*lcm(fib[xx],fib[yy]))%md; } } } out(ans%md); } }
03-16
例如，如果a=1e18，b=1e18，gcd是1e18，那么a/gcd=1，1*b=1e18，这在long long范围内（1e18大约是9e18，long long最大是9e18左右）。所以对于a和b在1e18的情况，这样的计算是可行的，但需要确保数据类型是long long...
2.编程实现求两个整数的最大公约数，例如24和18的最大公约数为6。 2.编程实现求Fibonacci数列第20个数，这个数列第1个数为1，第2个数为1，从 第3个数开始，该数等于前两个数之和，即 (F=1 F=1 (n=1)(n=2)(n≥3)
11-21
在Python中，你可以分别...print(f"Fibonacci数列的第{n}个数是: {fib_20th}") ``` 上述代码首先定义了一个递归函数`gcd()`用于计算最大公约数，然后定义了`fibonacci()`函数生成Fibonacci序列并返回指定位置的数值。
用c语言用键盘输入m、n，用函数递归调用计算，如。
最新发布
06-01
例如，计算最大公约数GCD(m,n)，用欧几里得算法：GCD(m,n) =GCD(n, m%n)，直到n为0时返回m。这很适合递归，而且代码简单。考虑到用户可能的需求，我需要给出一个通用的例子，同时涵盖可能性。或者，可能用户只是希望...
浅析欧几里德算法 GCD和LCM
小楼吹彻玉笙寒
09-05 3584
前言 欧几里德算法作为有着非常简短的实现的算法，可能很多初学者（包括当时的我）都不求甚解。本文给出了GCD、LCM的性质，以及欧几里德算法的实现、证明和时间复杂度推导。 ...
luogu P1306 斐波那契公约数
weixin_43872370的博客
12-22 242
luogu P1306 斐波那契公约数 结论题 gcd(f[a],f[b])=f[gcd(a,b)] 玄学优化一下 然后AC std: #include&amp;lt;bits/stdc++.h&amp;gt; using namespace std; typedef long long ll; #define p 100000000 //gcd(f[a],f[b])=f[gcd(a,b)] ll a,b; ll...
斐波那契公约数——（题目有毒）
weixin_34318272的博客
04-08 248
题目描述 对于Fibonacci数列：1,1,2,3,5,8,13......大家应该很熟悉吧~~~但是现在有一个很“简单”问题：第n项和第m项的最大公约数是多少？ 输入输出格式 输入格式： 两个正整数n和m。（n,m<=10^9） 注意：数据很大 输出格式： Fn和Fm的最大公约数。 由于看了大数字就头晕，所以只要输出最后的8位数字就可以了。 输入...
暑假训练4之斐波那契公约数变式
lanshan1111的博客
07-30 306
题目描述 对于Fibonacci数列：1,1,2,3,5,8,13......大家应该很熟悉吧~~~但是现在hanzhoufeng有一个很“简单”问题：第n项和第m项的最大公约数是多少？但是hanzhoufeng数学太烂了，只好去问上任数学课代表么么虫....但是么么虫也不会，只好来请教你了...... 输入格式 两个正整数n和m。（n,m&lt;=10^9） 输出格式 Fn和Fm的最大...
【OI备忘录】trick汇总帖
weixin_30396699的博客
08-31 310
OI中的那些实用的小trick 在OI中，我们时常会用到一些小技巧，无论是代码方面还是数学方面抑或是卡常，都有很多不错的小技巧。 鄙人不才，往往没办法想出来，于是就有了这篇汇总帖~ 如有疏漏，还请dalao指教！ 结论：\(gcd(F[n],F[m])=F[gcd(n,m)]\)，其中F为斐波那契数列 \(\quad\)证明： 　　我们设\(n<m\)，\(F[n]=a\)和\...
[乱搞]斐波那契数列与gcd之间一个有趣的定理
时光真疯狂, 我一路执迷于匆忙.
06-29 4470
求证gcd(Fn,Fm)=Fgcd(n,m)\gcd(F_n,F_m)=F_{\gcd(n,m)} 其中 F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n>1)证明听说这是一个非常有用的定理，那么就来随便证(luan)明(gao)一下Part 1gcd(Fn,Fn−1)=1\gcd(F_n,F_{n-1})=1 证明：gcd(Fn,Fn−1)=gcd(Fn−Fn−1,Fn−
递归---求最大公约数
11-30 6794
【题】 求最大公约数——递归 请使用递归算法计算正整数n和m的最大公约数GCD(n,m)。             = m             当 m GCD(N,M) = GCD(m,n)   当n                      = GCD(m, n mod m)     其他 输入：         n和m
使用欧几里得算法计算gcd(m,n)
m0_46844351的博客
12-31 1278
用于计算gcd(m,n)的欧几里得算法 第一步：如果n=0，返回m的值作为结果，同时过程结束；否则，进入第二步。 第二步：m除以n，将余数赋给r。 第三步：将n的值赋给m，将r的值赋给n，返回第一步。 import java.util.Scanner; public class Euclid { public static void main(String[] args) { // TODO 自动生成的方法存根 Scanner input = new Scanner(System
素数 快速幂 gcd.lcm
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一 素数1.判断一个数是不是素数 如果x<=1 则不是素数 是素数返回true 不是则返回falsebool is_pri(ll x) //时间复杂度O(√n) { ll s=sqrt(x+0.5); //加0.5是为了防止精度误差 for(ll i=2;i<=s;i++) if(!(x%i)) return false; return
斐波那契数列的性质
青竹梦
03-06 3581
fibonacci数列的性质： 1.gcd(fib(n),fib(m))=fib(gcd(n,m)) 证明：可以通过反证法先证fibonacci数列的任意相邻两项一定互素，然后可证n>m时gcd(fib(n),fib(m))=gcd(fib(n-m),fib(m))，递归可 求gcd(fib(n),fib(m))=gcd(fib(k),fib(l))，最后k=l，不然继续递归。K
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