排序算法——堆排序

都说堆排序是时间复杂度最小的排序算法，讲了各种堆排序的好，我这里就不赘述了，今天花了一个下午和半个晚上的时间算是差不多研究明白了堆排序。其实堆排序的逻辑并不是特别复杂，如果理解了就会觉得没有那么难，但是写代码的实现的时候，还是需要考虑很多事情的。反正我是被绕晕过的~

首先，写一下我对堆排序思想的认识。堆排序主要分为以下两个步骤：

1、由待排序的数组，构建一个最大堆（或者最小堆）。最大堆的意思就是说，任何一个非叶子节点的值不大于（或者不小于）其左右孩子的值；

2、由最大堆的根元素于最末叶子结点交换，获取到最大值（因此根元素就是最大值）。将交换后的堆，重复1的步骤，变成最大堆。重复步骤2。直到取完所有元素，出去的元素就是已经排好序的。

下面结合图讲一下整个思路：

1、最大堆的构建过程。（图中a为待排序的元素，将它表示为一个二叉树如下所示，绿色数字表示该元素在数组中对应的下标）

（1）将待排序的数组用二叉树的形式表示出来，则对应于任意下标为 i 的结点i，其父节点下标为（i-1）/2，左孩子结点为2*i+1，右孩子结点下标对应为2*i+2；

（2）对于非叶子结点的元素，从下标最大的开始（本例中为i=4,a[4]=16的元素），判断其是否符合最大堆的要求，即该结点值是否大于它所有的叶子结点。

如果不满足条件，将该结点与其叶子结点中较大的数进行交换（如i=3时，a[3]=2<14，故交换2与14的值）；

如果满足条件，比较下一个非叶子结点。（如I=4时，a[4]=16大于它所有的叶子结点，进行i=3时的判断）

一直重复上述过程，知道所有非叶子结点均遍历完成。

【注意】这里有一点要很注意，我在写程序的时候，一开始忽略了，也比绕晕了。那就是，比如i=1的时候，不简单是仅仅比较它与左右叶子结点的大小就可以了，当它的叶子结点是其他结点的根节点时，还需要进一步判断，它们是否符合最大堆的条件。这里是要用递归来实现的。（手画的图，有助于理清思路）

2、获得最大堆之后，就开始推排序。堆排序的基本思想，就是将根元素a[0]与下标最大的数进行交换（这一过程实际上是取出最大的元素，此时的根元素就是最大的元素了），再对a[0]~a[8]执行1的步骤，即将它们变成一个最大堆，然后再取根元素（此时的根元素就是该树a[0]~a[8]中最大的）。由此循环下去，直到只剩最后一个元素，即是最小的元素。（下图是排序过程的示意图）

思路大概就是这样，还是花了一个小时才差不多理清了。写代码能力真的有限，这个堆排序的代码，我没看任何别人的参考，硬是自己硬着头皮写的，写了我一个下午，晚上再调试修改，才可以用了，放在这里，欢迎大家批评指教。

#include<iostream>
#include<iomanip>
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <list>
using namespace std;

void CreateMaxTree(int a[], int num, int i);//最大堆生成函数，参数包括数组，数组大小，根节点对应的下标
void swap(int a[], int x, int y);//交换函数，参数分别是数组，需要交换的两个数在数组中对应的下标

int main()
{
	int a[] = {4,1,3,2,16,9,10,14,8,7};
	int num = sizeof(a) / sizeof(int);
	int i_num = (num - 1) / 2;
	for (int k = num; k > 0; k--)//外层循环用于堆排序中，交换后依次取出前k个数作为新数组，调用生成最大堆的函数
	{		
		int i_num = (k - 1) / 2;//非叶子结点个数
		for (int i = i_num; i >= 0; i--)
		{
			CreateMaxTree(a,k,i);//循环调用最大堆生成函数
		}
		swap(a, k-1, 0);//特别注意这是k-1，否则会出现数组越界，此时k是数组的长度
	}

	for (int j = 0; j < num; j++)
	{
		cout << a[j] << " ";
	}

	return 0;
}

void CreateMaxTree(int a[], int num,int i)//函数实现的功能是，给定一个数组，数组大小，对应根节点的下标，将根节点下标之下的树变成一个最大堆
{	
	int father = i;
	int leftChild = 2 * i + 1;
	int rightChild = 2 * i + 2;
	int childmax = 0;
	if (leftChild<num)//判断是否存在左叶子
	{
		if (rightChild<num)//是否存在右叶子
		{
			if (a[leftChild]> a[rightChild])//获取左右叶子中较大的那个
			{
				childmax = leftChild;
			}
			else
			{
				childmax = rightChild;
			}
			if (a[father] < a[childmax])//将较大的数与根节点交换
			{
				swap(a, father, childmax);
			}			
		}
		else
		{
			if (a[father] < a[leftChild])
			{
				swap(a, father, leftChild);
			}			
		}
	}

	if ((leftChild * 2 + 1) < num) //判断此时的孩子结点，是否是其他结点的父结点
	{
		CreateMaxTree(a, num, leftChild);//如果是，则递归调用，重复上述的过程
	}

	if ((rightChild * 2 + 1) < num)//同理，对此时的右叶子操作
	{
		CreateMaxTree(a, num, rightChild);
	}	
}

void swap(int a[], int x, int y)
{
	int temp;
	temp = a[x];
	a[x] = a[y];
	a[y] = temp;
}