洛谷1020 导弹拦截

https://www.luogu.org/problem/show?pid=P1020

第一问数列取反之后用类似求LIS的O(nlogn)算法就可以了。
第二问的关键在于Dilworth定理,就这题而言可以表述成:

一个数列划分成最少的最长不升子序列数==这个数列的最长上升子序列长度

也就是说求一下LIS就做完了。
似乎第二问也可以贪心做,但是知道定理的情况下显然是求LIS更容易些……

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 1e5+5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int a[maxn], f[maxn], x, cnt;

int main()
{
    int n = 0;
    while (~scanf("%d", &a[n]))
    {
        a[n] = -a[n];
        ++n;
    }
    fill(f, f+n, 0);
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        *upper_bound(f, f+n, a[i]) = a[i];
    printf("%d\n", lower_bound(f, f+n, 0) - f);
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        a[i] = -a[i];
    fill(f, f+n, INF);
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        *lower_bound(f, f+n, a[i]) = a[i];
    printf("%d\n", lower_bound(f, f+n, INF) - f);
    return 0;
}
### 关于洛谷平台上的导弹拦截问题 #### Python 实现解题思路 对于导弹拦截问题,核心在于找到最长不增子序列(LIS)。这个问题可以通过动态规划来解决。具体来说: 1. **单套系统最大拦截数量** 为了求得一套系统能够拦截的最大导弹数目,可以采用二分查找优化的动态规划方法。 ```python def max_intercept(nums): dp = [] for num in nums: i = bisect.bisect_right(dp, num) if i != len(dp): dp[i] = num else: dp.append(num) return len(dp) from bisect import bisect_right heights = list(map(int, input().split())) print(max_intercept(heights)) # 输出单套系统的最大拦截数[^1] ``` 上述代码通过维护一个`dp`数组记录当前最优解,在遍历过程中不断更新这个列表直到结束。最终返回的结果即为所需答案。 2. **最小需要几套系统才能全部拦截** 当考虑如何用最少数量的不同系统完全覆盖所有来袭目标时,则需转换视角——实际上是要找出原序列可被划分为几个互不相交且各自内部满足条件的子集。这相当于求出最长上升子序列长度之后再取总数除以其倒数即可得到结果。 ```python def min_systems_needed(nums): tails = [] for num in reversed(nums): idx = bisect_left(tails, num) if idx == len(tails): tails.append(num) else: tails[idx] = num return len(tails) from bisect import bisect_left heights = list(map(int, input().split()))[::-1] print(min_systems_needed(heights)) # 输出所需的最小系统数量 ``` 这里先对原始数据进行了反转处理以便更好地适应算法逻辑;接着利用了另一个版本的二分查找函数来进行操作;最后输出的就是所求的答案。
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