线性基原理与应用-优快云博客

线性基

http://www.cnblogs.com/ljh2000-jump/p/5869991.html

1、线性基：

　　若干数的线性基是一组数a1,a2,…an，其中ax的最高位的1在第x位。

　　通过线性基中元素xor出的数的值域与原来的数xor出数的值域相同

2、线性基的构造法：

　　对每一个数p从高位到低位扫，扫到x位为1时，若ax不存在，则ax=p并结束此数的扫描，否则令p= p xor ax。

3、查询：

　　用线性基求这组数xor出的最大值：从高往低扫ax，若异或上ax使答案变大，则异或。

4、判断：

　　用线性基求一个数能否被xor出：从高到低，对该数每个是1的位置x，将这个数异或上ax（注意异或后这个数为1的位置和原数就不一样了），若最终变为0，则可被异或出。当然需要特判0（在构造过程中看是否有p变为0即可）。
　　例子：(11111,10001)的线性基是a5=11111，a4=01110，要判断11111能否被xor出，11111 xor a5 =0，则这个数后来就没有是1的位置了，最终得到结果为0，说明11111能被xor出。

个人谈一谈对线性基的理解：

　　很多情况下，只有有关异或运算和求最值，就可以用到线性基。线性基有很多很好的性质，比如说如果有很多个数，我们可以构出这些数的线性基，那么这个线性基可以通过互相xor，能够构出原来的数可以相互xor构出的所有的数。所以可以大大减少判断的时间和次数。同时线性基的任何一个非空子集都不会使得其xor和为0，证明也很简单，反证法就可以说明。这个性质在很多题目中可以保证算法合法性，比如：BZOJ2460。

　　构造的方法有点像贪心，从大到小保证高位更大。也比较好理解。就是这几行代码：

for(int i=1;i<=n;i++) {    
    for(int j=62;j>=0;j--) {
        if(!(a[i]>>j)) continue;//对线性基的这一位没有贡献           
        if(!p[j]) { p[j]=a[i]; break; }//选入线性基中                   
        a[i]^=p[j];
    }
}

　　可以把n个数变成只有最大的数的二进制位数那么多个数，这就是线性基的优秀之处。

　　查询的话，也是一个贪心思想，如果可以使得ans更大，就把这一位的基xor进ans。

for(int i=62;i>=0;i--) if((ans^p[i])>ans) ans=ans^p[i]; //从线性基中得到最大值

　　这就是线性基的基本用法和个人的一些理解。