31、电力系统可靠性的优化策略：分段绝缘与设备更换

电力系统可靠性的优化策略：分段绝缘与设备更换

1. 分段绝缘的效果

分段绝缘能大幅降低故障率，其效果受环境条件和绝缘线路类型影响。为衡量其作用，引入了故障降低系数 $\alpha_i$ 和修复时间变化系数 $\beta_i$。

1.1 绝缘后未供电能量成本

绝缘后，第 $i$ 段因故障导致的年度未供电能量总成本为：
[c_i = \alpha_i \lambda_i \left(\hat{Z} i + \beta_i \rho_i r_i Z {D(i)}^*\right)]

1.2 未供电能量成本降低估算

可通过以下公式估算分段绝缘在降低年度未供电能量成本方面的效果：
[\Delta c_i = c_i - \tilde{c} i = \alpha_i \lambda_i \left(\hat{Z}_i + \beta_i \rho_i r_i Z {D(i)}^ \right) - \lambda_i \left(\hat{Z} i + \rho_i r_i Z {D(i)}^ \right) = (1 - \alpha_i) \lambda_i \left(\hat{Z} i + \beta_i \rho_i r_i Z {D(i)}^*\right)]

在无自动分段的配电系统中，$D(i)=0$，此时需将上式中的 $Z_{D(i)}^*$ 替换为总网络负载成本 $Z_0$。

对于运行条件均匀的系统，可做如下假设：
- 故障率与分段长度成正比，即 $\lambda_i = \lambda$；
- 所有分段的串联故障率相等；
- 到达和修复时间与分段位置无关，且所有分段相同；
- 绝缘效果与具体分段位置无关。

在此简化情况下，未供电能量成本降低可计算为：
[\Delta c_i = (1 - \alpha_i) \vartheta l_i \left(\hat{Z} i + \beta_i \rho r Z {D(i)}^*\right)]

简化形式为：
[\Delta c_i = \delta l_i \hat{Z} i + \gamma l_i Z {D(i)}^*]

其中，$\delta = (1 - \alpha) \vartheta$，$\gamma = (1 - \rho) \vartheta \alpha \beta r$。

2. 优化问题

2.1 类型 1 优化问题

给定总投资成本上限 $H$，目标是在不超过该成本的情况下，最大程度降低系统未供电能量成本。问题可表示为：
[\max \sum_{i \in X} \Delta c_i, \quad \text{s.t.} \quad \sum_{i \in X} h_i \leq H]

可将其转化为 0 - 1 整数线性规划问题：
[\max \sum_{i = 0}^{N} x_i \Delta c_i, \quad \text{s.t.} \quad \sum_{i = 0}^{N} x_i h_i \leq H, \quad x_i \in {0, 1}]

其中，$x_i = 1$ 表示第 $i$ 段应进行绝缘。

2.2 类型 2 优化问题

给定期望的未供电能量成本降低水平 $C_{des}$，目标是确定要绝缘的分段集合 $X$，使得绝缘成本最小。问题可表示为：
[\min \sum_{i \in X} h_i, \quad \text{s.t.} \quad \sum_{i \in X} \Delta c_i \geq C_{des}]

转化为 0 - 1 整数线性规划问题为：
[\min \sum_{i = 0}^{N} x_i h_i, \quad \text{s.t.} \quad \sum_{i = 0}^{N} x_i \Delta c_i \geq C_{des}, \quad x_i \in {0, 1}]

2.3 示例系统参数

以下是一个简单配电系统的参数示例：
| 分段编号 $i$ | 线路类型 | 负载 (kW) | 通过分段的负载流量 | 分段长度 (km) |
| — | — | — | — | — |
| 1 | 1 | 0 | 1490 | 1.4 |
| 2 | 1 | 0 | 1050 | 0.9 |
| 3 | 1 | 0 | 630 | 0.6 |
| 4 | 1 | 0 | 140 | 2.4 |
| 5 | 1 | 70 | 70 | 1.4 |
| 6 | 1 | 0 | 440 | 1.95 |
| 7 | 2 | 0 | 330 | 1.55 |
| 8 | 1 | 0 | 390 | 1.5 |
| 9 | 1 | 0 | 390 | 1 |
| 10 | 1 | 100 | 100 | 2.35 |
| 11 | 1 | 70 | 70 | 1.4 |
| 12 | 1 | 230 | 230 | 1.5 |
| 13 | 1 | 160 | 160 | 1.2 |
| 14 | 2 | 60 | 60 | 0.6 |
| 15 | 2 | 200 | 200 | 0.8 |
| 16 | 2 | 130 | 130 | 0.1 |
| 17 | 1 | 80 | 80 | 2.2 |
| 18 | 1 | 130 | 130 | 0.1 |
| 19 | 1 | 160 | 160 | 0.75 |
| 20 | 1 | 70 | 70 | 0.1 |
| 21 | 3 | 140 | 140 | 1.35 |
| 22 | 3 | 0 | 280 | 0.5 |
| 23 | 3 | 200 | 200 | 1.5 |
| 24 | 1 | 0 | 420 | 0.5 |
| 25 | 3 | 80 | 80 | 0.55 |

不同线路类型的参数如下：
| 类型 | $\vartheta$ (km⁻¹) | $r$ (min) | $\rho$ (min) | $h/l$ ($/km$) | $\alpha$ | $\beta$ |
| — | — | — | — | — | — | — |
| 1 | 0.08 | 60 | 120 | 20000 | 0.25 | 1.5 |
| 2 | 0.12 | 60 | 150 | 23000 | 0.1 | 1.8 |
| 3 | 0.12 | 90 | 150 | 21000 | 0.1 | 2.0 |

2.4 类型 1 问题解决方案

以下是投资限制为 $H = 100000$ 美元时，六种分段器和联络线配置的最优部分绝缘解决方案：
| 解决方案编号 | 有分段器的分段 | 有联络线的分段 | 总未供电能量降低 (kW) | 总绝缘成本 | 绝缘分段集合 |
| — | — | — | — | — | — |
| 1 | - | - | 1545.3 | 99900 | 2,21,22,23 |
| 2 | - | 25 | 1471.9 | 100000 | 14,16,18,21,22,23 |
| 3 | 24 | 25 | 856.2 | 99850 | 3,7,9,14,15 |
| 4 | 2 | 25 | 885.4 | 99800 | 7,16,18,21, 23 |
| 5 | 2,24 | 25 | 622.5 | 99850 | 3,7,15,16,23 |
| 6 | 2,24 | - | 1164.1 | 99850 | 1,7,14,15,18,20 |

从表中可以看出，在没有分段和备用电源的网络中，部分绝缘最为有效，因为每次故障造成的损失最大。

3. 遗传算法实现

最优绝缘问题的任何解决方案都可以用长度为 $N$ 的二进制字符串表示，其中 $0\leq i\leq N$ 表示 $x_i$。解码二进制字符串后，可根据以下公式确定解决方案的适应度：

3.1 类型 1 问题

[\text{fitness} = \sum_{i \in X} x_i \Delta c_i - \Omega \cdot \left(\sum_{i \in X} x_i h_i > H\right)]

3.2 类型 2 问题

[\text{fitness} = \Omega \cdot \left(\sum_{i \in X} x_i \Delta c_i \geq C_{des}\right) - \sum_{i \in X} x_i h_i]

其中，$\Omega$ 是一个足够大的常数。

算法初始阶段，使用相关程序和公式分别计算未供电负载成本 $Z_i^*$ 和 $\tilde{Z}_i$，并为每个分段计算 $\Delta c_i$ 指标。然后，遗传算法根据相应的优化问题公式求解。

mermaid 格式流程图如下：

graph TD;
    A[初始化] --> B[计算未供电负载成本和Δci指标];
    B --> C[生成初始种群];
    C --> D[评估适应度];
    D --> E{是否满足终止条件};
    E -- 否 --> F[选择、交叉、变异];
    F --> D;
    E -- 是 --> G[输出最优解];

4. 配电系统设备的最优更换调度

4.1 问题描述

电力系统中设备质量和可靠性不断提高，旧设备故障后只能用新型设备替换。为提高系统可靠性，有时需预防性更换旧设备，但需权衡系统故障成本、更换成本以及新旧设备维护成本。

系统中有 $N$ 个相同单元，旧设备故障率为 $\lambda_o$，故障会造成能量损失。故障单元用故障率更低的新型设备替换，新旧设备的预防性监控和维护成本不同。

存在三种可能的更换策略：
- 策略 1：在新型设备上市时，同时更换所有旧设备；
- 策略 2：自然策略，即旧设备故障后立即用新设备替换，不进行预防性更换；
- 策略 3：组合策略，在 $K - 1$ 个旧设备按自然策略更换后，第 $K$ 个旧设备故障时，更换所有剩余旧设备。

若初始旧设备数量为 $N$，策略 1 和策略 2 可视为策略 3 的特殊情况，即 $K = N$ 和 $K = 0$。问题是找到最优的 $K$，使预期总成本最小。

为解决该问题，做以下假设：
1. 更换时间可忽略不计，即更换瞬间完成；
2. 两种类型设备的故障前时间呈指数分布；
3. 系统中单元数量足够大，满足 $\sum_{k = 0}^{N - K + 1} \frac{1}{k \lambda_o} << T$，其中 $T$ 是规划时间范围。

4.2 模型描述

系统模型的状态空间图中，每个状态用 $(i, j)$ 表示，$i$ 为系统中旧设备数量，$j$ 为新设备数量。

初始状态为 $(N, 0)$，第一个旧设备故障后，系统转移到 $(N - 1, 1)$，转移强度为 $N \lambda_o$，转移成本为 $c_f = c_d + c_r$，其中 $c_d$ 为故障损失，$c_r$ 为更换费用。

在每个状态 $(N - j, j)$ 有两种情况：
- 若剩余旧设备之一在新设备故障前故障，系统转移到 $(N - j - 1, j + 1)$，转移强度为 $(N - j) \lambda_o$，成本为 $c_f$；
- 若新设备先故障，系统保持在 $(N - j, j)$，转移强度为 $j \lambda_n$，成本为 $c_f$。

当系统到达状态 $(K, N - K)$ 时，所有剩余 $K$ 个旧设备立即被替换为新设备，系统转移到 $(0, N)$，成本为 $K c_p$，其中 $c_p$ 为单个设备的预防性更换成本。

4.3 总成本估算

4.3.1 故障和更换成本

• 预防性更换前的故障成本 ：从初始状态 $(N, 0)$ 转移到 $(N - 1, 1)$ 的预期时间为 $\frac{1}{N \lambda_o}$，该转移的预期成本现值为：
  [\left\lfloor\frac{1}{N \lambda_o}\right\rfloor (1 + IR)^{- \left\lfloor\frac{1}{N \lambda_o}\right\rfloor} c_f]

其中，$IR$ 是利率。

对于状态 $(N - j, j)$（$1 \leq j \leq N - K - 1$），转移强度为 $\lambda_A = j \lambda_n$ 和 $\lambda_B = (N - j) \lambda_o$，转移成本为 $c_f$。

系统在状态 $A$ 停留的时间累积分布函数为：
[F_{AA}(t) = 1 - e^{-\lambda_A t}, \quad F_{AB}(t) = 1 - e^{-\lambda_B t}]

一步最终转移概率为：
[q = \frac{\lambda_A}{\lambda_A + \lambda_B}, \quad p = \frac{\lambda_B}{\lambda_A + \lambda_B}]

状态 $A$ 到自身的转移次数 $X$ 服从几何分布：
[P(X = m) = q^m p = \left(\frac{\lambda_A}{\lambda_A + \lambda_B}\right)^m \frac{\lambda_B}{\lambda_A + \lambda_B}]

状态 $A$ 到自身的第 $m$ 次转移预期时间为 $t_A + \frac{m}{\lambda_A}$，预期成本为：
[\left\lfloor t_A + \frac{m}{\lambda_A}\right\rfloor (1 + IR)^{- \left\lfloor t_A + \frac{m}{\lambda_A}\right\rfloor} c_f]

状态 $A$ 到自身的总预期成本为：
[C_{n,j} = \sum_{m = 0}^{\infty} p \sum_{i = 0}^{m} \left\lfloor t_A + \frac{i}{\lambda_A}\right\rfloor (1 + IR)^{- \left\lfloor t_A + \frac{i}{\lambda_A}\right\rfloor} c_f]

状态 $A$ 到状态 $B$ 的预期时间为 $t_A + \frac{1}{\lambda_B}$，预期成本为：
[C_{o,j} = \left\lfloor t_A + \frac{1}{\lambda_B}\right\rfloor (1 + IR)^{- \left\lfloor t_A + \frac{1}{\lambda_B}\right\rfloor} c_f]

系统到达状态 $(N - j, j)$ 的预期时间为：
[t_A = \tau_j = \sum_{k = 0}^{j - 1} \frac{1}{(N - k) \lambda_o}]

预防性更换前的总故障成本为：
[C_o(K) = \sum_{j = 1}^{N - K - 1} C_{o,j}, \quad C_n’(K) = \sum_{j = 1}^{N - K - 1} C_{n,j}]

• 预防性更换成本 ：系统到达状态 $(K, N - K)$ 的估计时间为：
  [\tau_{N - K} = \sum_{i = 1}^{N - K} \frac{1}{i \lambda_o}]

预防性更换 $K$ 个旧设备的成本现值为：
[C_p(K) = K c_p \left(1 + IR\right)^{- \sum_{i = 1}^{N - K} \frac{1}{i \lambda_o}}]

• 最终状态的新设备故障成本 ：系统在最终状态 $(0, N)$ 的时间为 $T - \tau_{N - K}$，最终状态故障率为 $N \lambda_n$，第 $j$ 次故障的预期时间为 $\tau_{N - K} + \frac{j}{N \lambda_n}$。

最后考虑的故障次数 $j^ $ 满足 $\tau_{N - K} + \frac{j^ }{N \lambda_n} \leq T$，即 $j^* = \left\lfloor N \lambda_n (T - \tau_{N - K})\right\rfloor$。

最终状态新设备故障的总预期成本为：
[C_n’‘(K) = \sum_{j = 1}^{j^*} \left\lfloor \tau_{N - K} + \frac{j}{N \lambda_n}\right\rfloor (1 + IR)^{- \left\lfloor \tau_{N - K} + \frac{j}{N \lambda_n}\right\rfloor} c_f]

4.3.2 维护成本

第 $j$ 个旧设备故障的预期时间为 $\tau_j$，其维护期为 $\left\lfloor \tau_j \right\rfloor$ 年。更换为新设备后，维护期为从 $\tau_j$ 到 $T$。

第 $j$ 个旧设备更换前的预期维护成本现值为 $\psi(\tau_j) c_{mo}$，其中 $c_{mo}$ 是旧设备的年维护成本，$\psi(x) = \sum_{k = 1}^{x} (1 + IR)^{-k}$。

第 $j$ 个旧设备更换后的预期维护成本现值为 $\left(\psi(T) - \psi(\tau_j)\right) c_{mn}$，其中 $c_{mn}$ 是新设备的年维护成本。

故障后更换设备的总维护成本为：
[\sum_{j = 1}^{N - K - 1} \left[c_{mn} \left(\psi(T) - \psi(\tau_j)\right) + c_{mo} \psi(\tau_j)\right]]

$K$ 个旧设备同时更换的总维护成本为：
[K \left[c_{mn} \left(\psi(T) - \psi(\tau_{N - K})\right) + c_{mo} \psi(\tau_{N - K})\right]]

总维护成本为：
[C_m(K) = \sum_{j = 1}^{N - K - 1} \left[c_{mn} \left(\psi(T) - \psi(\tau_j)\right) + c_{mo} \psi(\tau_j)\right] + K \left[c_{mn} \left(\psi(T) - \psi(\tau_{N - K})\right) + c_{mo} \psi(\tau_{N - K})\right]]

4.4 总成本函数

总成本作为决策变量 $K$ 的函数为：
[C_{tot}(K) = C_o(K) + C_n’(K) + C_n’‘(K) + C_p(K) + C_m(K)]

通过简单的优化程序可找到使 $C_{tot}(K)$ 最小的 $K$ 值。

4.5 示例

考虑一个包含 $N = 500$ 个单元的系统，参数如下表所示：
| $N$ | $\lambda_o$ | $\lambda_n$ | $c_p$ (1000 $) | $c_{mo}$ (1000 $/year) | $c_{mn}$ (1000 $/year) | $T$ (Years) | $IR$ |
| — | — | — | — | — | — | — | — |
| 500 | 0.01 | 0.005 | 12 | 0.15 | 0.1 | 30 | 0.1 |

$K$ 的取值范围由时间范围 $T$ 决定，最小可能的 $K$ 值可通过不等式 $\sum_{i = 1}^{N - K} \frac{1}{i \lambda_o} < T$ 确定，对于给定参数，该值为 370。

不同故障损失成本 $c_d$ 下系统成本与 $K$ 的关系如下：
- 当 $c_d = 150000$ 美元时，$C_{tot}(K)$ 是递减函数，说明预防性更换越晚成本越低，在该时间范围内预防性更换不值得；
- 当 $c_d = 350000$ 美元时，$C_{tot}(K)$ 是递增函数，应尽快进行预防性更换；
- 当 $c_d = 250000$ 美元时，$C_{tot}(K)$ 几乎与预防性更换时间无关。

总体结论是，只有当单个单元故障的损失成本大于 250000 美元时，才应进行预防性更换，且最好在系统首次故障前进行。

mermaid 格式流程图如下：

graph TD;
    A[输入系统参数] --> B[计算不同K值下的总成本Ctot(K)];
    B --> C[找到使Ctot(K)最小的K值];
    C --> D{是否满足条件};
    D -- 是 --> E[输出最优K值];
    D -- 否 --> B;

综上所述，通过合理的分段绝缘和设备更换调度，可以有效提高电力系统的可靠性，降低成本。在实际应用中，需根据具体系统参数和成本情况，选择合适的优化策略。

5. 策略总结与实际应用建议

5.1 分段绝缘策略总结

• 效果显著 ：分段绝缘能大幅降低故障率，其效果受环境条件和绝缘线路类型影响。通过引入故障降低系数 $\alpha_i$ 和修复时间变化系数 $\beta_i$，可以准确估算绝缘后未供电能量成本及成本降低效果。
• 优化问题求解 ：针对不同的约束条件，如总投资成本上限或期望的未供电能量成本降低水平，可将问题转化为 0 - 1 整数线性规划问题，并使用遗传算法求解。
• 实际应用建议 ：在实际应用中，应根据系统的具体情况，如分段长度、负载流量、环境条件等，选择合适的绝缘分段集合。同时，可通过比较不同配置下的总未供电能量降低和总绝缘成本，确定最优的绝缘方案。

5.2 设备更换策略总结

• 策略选择 ：存在三种设备更换策略，策略 1 和策略 2 可视为策略 3 的特殊情况。通过找到最优的 $K$ 值，可以使预期总成本最小。
• 模型假设 ：为简化问题，做了更换时间可忽略不计、故障前时间呈指数分布、单元数量足够大等假设。
• 实际应用建议 ：在实际应用中，应根据系统的规划时间范围、新旧设备的故障率、维护成本等参数，计算不同 $K$ 值下的总成本，选择使总成本最小的 $K$ 值。同时，应注意故障损失成本对预防性更换决策的影响，只有当单个单元故障的损失成本大于一定值时，才应进行预防性更换。

5.3 综合应用建议

• 结合使用 ：分段绝缘和设备更换调度可以结合使用，以进一步提高电力系统的可靠性和降低成本。例如，在进行设备更换的同时，对部分分段进行绝缘处理。
• 动态调整 ：电力系统的运行条件和参数可能会随时间变化，因此应定期对系统进行评估和优化，动态调整分段绝缘和设备更换策略。

6. 常见问题解答

6.1 分段绝缘的成本如何估算？

分段绝缘的成本 $h_i$ 取决于分段长度、绝缘类型、环境条件和社会因素。可根据具体情况进行估算。

6.2 如何确定最优的 $K$ 值？

通过计算不同 $K$ 值下的总成本 $C_{tot}(K)$，并找到使 $C_{tot}(K)$ 最小的 $K$ 值。可使用简单的优化程序进行计算。

6.3 遗传算法的终止条件是什么？

遗传算法的终止条件可以是达到最大迭代次数、适应度值不再提高等。具体终止条件可根据实际情况确定。

6.4 预防性更换是否一定值得？

不一定。预防性更换是否值得取决于故障损失成本、更换成本和维护成本等因素。只有当单个单元故障的损失成本大于一定值时，预防性更换才值得。

7. 总结

本文介绍了电力系统可靠性的优化策略，包括分段绝缘和设备更换调度。通过合理的分段绝缘和设备更换，可以有效提高电力系统的可靠性，降低成本。具体内容如下：
- 分段绝缘 ：通过引入故障降低系数和修复时间变化系数，估算绝缘后未供电能量成本及成本降低效果。针对不同的约束条件，将问题转化为 0 - 1 整数线性规划问题，并使用遗传算法求解。
- 设备更换 ：存在三种更换策略，通过找到最优的 $K$ 值，使预期总成本最小。考虑了故障和更换成本、维护成本等因素，建立了总成本函数。
- 实际应用 ：根据系统的具体情况，选择合适的绝缘分段集合和更换策略。同时，应定期对系统进行评估和优化，动态调整策略。

在实际应用中，应根据电力系统的具体参数和运行条件，综合考虑分段绝缘和设备更换的成本和效益，选择最优的优化策略，以提高电力系统的可靠性和经济性。

以下是一个总结表格：
| 优化策略 | 关键参数 | 优化问题 | 求解方法 | 实际应用建议 |
| — | — | — | — | — |
| 分段绝缘 | $\alpha_i$，$\beta_i$，$h_i$，$\Delta c_i$ | 最大未供电能量成本降低或最小绝缘成本 | 0 - 1 整数线性规划，遗传算法 | 根据系统情况选择绝缘分段集合，比较不同配置的成本效益 |
| 设备更换 | $K$，$\lambda_o$，$\lambda_n$，$c_p$，$c_{mo}$，$c_{mn}$ | 最小预期总成本 | 计算不同 $K$ 值下的总成本 | 根据系统参数计算最优 $K$ 值，考虑故障损失成本对决策的影响 |

mermaid 格式流程图如下：

graph LR;
    A[电力系统] --> B{选择优化策略};
    B -- 分段绝缘 --> C[计算相关参数];
    C --> D[求解优化问题];
    D --> E[确定绝缘分段集合];
    B -- 设备更换 --> F[计算不同K值下的总成本];
    F --> G[找到最优K值];
    G --> H[确定更换策略];
    E --> I[实施分段绝缘];
    H --> I;
    I --> J[评估系统可靠性和成本];
    J --> K{是否满足要求};
    K -- 否 --> B;
    K -- 是 --> L[持续运行和监控];

通过以上的优化策略和实际应用建议，希望能为电力系统的可靠性提升和成本控制提供有益的参考。在实际操作中，还需结合具体情况进行深入分析和决策。