算法刷题记录(Day 72)

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本文探讨了如何通过差分约束系统的方法，利用Si的不等式来求解取整后问题中的字典序最小值。关键步骤包括转化不等式、构建差分系统模型，并运用SPFA算法进行最短路径搜索。

再卖菜(csp 201809-4)

原题链接
题目类型:差分约束系统
差分约束
思考过程:
1.鉴于取整的特性，因此将每一个位置的值进行还原为原来相加的结果，就一定会有三种可能
2.对于一个给定的相除之前的结果，如果使用暴力的思想，那么首先第三个和倒数第三个的值是可以确定的，然后遍历a和b的可能性，那么就有很多种可能性，在这么多的情况下如何再去确定一个较小的字典序->dfs来进行剪枝，那么一定要从最小的开始么，最小的一定是符合条件的么？

重新思考：
由于取整操作的存在，可以将等式转变为不等式
使用Si代表的是前i个数字之和，则有
3num i +2 >=Si+1 - Si-2 >=3numi
num i - num i-1 >=1
该题需要求解的是字典序的最小值，进一步地即为每一个S的最小值，利用差分系统的最小值的求解思路来进行解题即可。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
int n;
#define NMAX 310
int num[NMAX];
int dst[NMAX];

struct edge {
	int f, t, w, n;
}E[NMAX*4];

int head[NMAX];
int cnt = 1;
void add(int f, int t, int w) {
	E[cnt].f = f, E[cnt].t = t, E[cnt].w = w, E[cnt].n = head[f];
	head[f] = cnt++;
}
void spfa(int s) {
	memset(dst, -0x3f, sizeof(dst));
	queue<int > Q;
	int inq[NMAX];
	memset(inq, 0, sizeof(inq));
	Q.push(s);
	dst[s] = 0;
	inq[s] = 1;
	while (!Q.empty()) {
		int s = Q.front();
		Q.pop();
		inq[s] = 0;
		for (int i = head[s]; i; i = E[i].n) {
			int d = E[i].t;
			if (dst[d] < dst[s] + E[i].w) {
				dst[d] = dst[s] + E[i].w;
				if (!inq[d]) {
					inq[d] = 1;
					Q.push(d);
				}
			}
		}
	}

}
int main() {
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> num[i];
	}
	memset(head, 0, sizeof(0));
	for (int i = 2; i < n ; i++) {
		add(i - 2, i + 1, 3 * num[i]);
		add(i + 1, i - 2, -3 * num[i] - 2);
	}
	add(0, 2, 2 * num[1]), add(2, 0, -num[1] * 2 - 1);
	add(n - 2, n, 2 * num[n]), add(n, n - 2, -2 * num[n] - 1);
	for (int i = 1; i <= n; i++) add(i - 1, i, 1); //不要忘记这个条件的添加
	/*for (int i = 1; i < cnt; i++) {
		printf("%d %d %d\n", E[i].f, E[i].t, E[i].w);
	}*/
	spfa(0);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (i != 1) cout << " ";
		cout << dst[i] - dst[i - 1];
	}
	cout << endl;
}

tip:
1.对于spfa的使用，首先注意dst的初始化，若为最长路则应该初始化为负无穷，若为最短路则应该初始化为正无穷。其次，注意if判断的方向问题，若为最短路，则使用小于号，若为最长路，则使用大于号。
2.对于差分系统的不等式的建立，注意一些隐含条件，例如本题中的dst[i]-dst[i-1]>=1