Mahalanobis（马哈拉诺比斯）距离

马氏距离(Mahalanobis Distance)是一种距离的度量，可以看作是欧氏距离的一种修正，修正了欧式距离中各个维度尺度不一致且相关的问题。

 

马氏距离（Mahalanobis Distance）是由马哈拉诺比斯（P. C. Mahalanobis）提出的，表示数据的协方差距离。它是一种有效的计算两个未知样本集的相似度的方法。与欧氏距离不同的是它考虑到各种特性之间的联系（例如：一条关于身高的信息会带来一条关于体重的信息，因为两者是有关联的）并且是尺度无关的（scale-invariant），即独立于测量尺度。
对于一个均值为μ = ( μ 1 , μ 2 , μ 3 , . . . , μ p ) T μ=(μ_1,μ_2,μ_3,...,μ_p)^Tμ=(μ1​,μ2​,μ3​,...,μp​)T，协方差矩阵为S SS的多变量x = ( x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x p ) T x=(x_1,x_2,x_3,...,x_p)^Tx=(x1​,x2​,x3​,...,xp​)T，

马氏距离为：

我们可以发现如果Σ^(-1)是单位阵的时候，马氏距离简化为欧氏距离。

 

那我们为什么要用马氏距离呢？
马氏距离有很多优点： 马氏距离不受量纲的影响，两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关；

由标准化数据和中心化数据(即原始数据与均值之差）计算出的二点之间的马氏距离相同。

马氏距离还可以排除变量之间的相关性的