实用算法实现-第 27 篇中国余数定理

27.1 中国余数定理

定理：对任意n > 1，如果gcd(a, n) = 1，则方程a • x ≡ 1(mod n)对模n有唯一解，否则方程无解。若方程有解，x可以表示为(a^-1) mod n，x可以由欧几里德算法的扩广形式求出。

设n1, n2, ..., nk两两互质，n = n1• n2 • ... • nk

定义：mi = n1• n2 • ... • ni-1 • ni+1 • ... • nk

定义：ci = mi • (mi^-1 mod ni)

定义：a ≡ (a1•c1 + a2• c2 + ...＋ak•ck) (mod n)

可以证明：a ≡ ai (mod ni)

证明如下：

ci = mi • (mi^-1 mod ni) 故此ci ≡ 1 (mod ni)

又由mi ≡ 0 (mod nj) j= 1, 2, ..., i-1, i+1, ...k

故此 mi • (mi^-1 mod ni) ≡ 0 (mod nj) j =1, 2, ..., i-1, i+1, ...k

故此ci ≡ 0 (mod nj) j = 1, 2, ...,i-1, i+1, ...k

由 ci ≡ 0 (mod nj) j = 1, 2, ..., i-1, i+1, ...k

ci ≡ 1 (mod nj) j = i

可知ci和(0, 0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)有一一对应的关系。

故此a ≡ ai • ci (mod ni)

≡ ai • mi(mi^-1 mod ni) (mod ni)

≡ ai (mod ni)

由上面证明可知：对于两两互质的n1, n2, ..., nk，若已知a1, a2, ..., ak，则可以求出a (mod n)，使得ai = a (mod ni)。即a和(a1, a2, ..., ak)一一对应。

由中国余数定理有：

推论：如果n1, n2, ..., nk两两互质，n=n1 • n2 • ... • nk，则对所有整数x和a（i = 1, 2, ..., k）, 有x = a(mod ni)，当且仅当x = a(mod n)。

27.1.1 实例

PKU JudgeOnline, 1006, Biorhythms.

27.1.2 问题描述

一个人体力、情绪、智力的波动周期为23，28，33天，给定每种状态达到最高点分别为第p, e, i天，从第d天开始，过多少天后会达到三者的最高点。

27.1.3 输入

00 0 0

00 0 100

520 34 325

45 6 7

283102 23 320

203301 203 40

-1 -1 -1 -1

27.1.4 输出

Case1: the next triple peak occurs in 21252 days.

Case2: the next triple peak occurs in 21152 days.

Case3: the next triple peak occurs in 19575 days.

Case4: the next triple peak occurs in 16994 days.

Case5: the next triple peak occurs in 8910 days.

Case6: the next triple peak occurs in 10789 days.

27.1.5 分析

这里23，28，33互质，所以可以用中国剩余定理的这个推论。

先求出mi，再根据欧几里德算法的扩广形式求出((mi^-1) mod ni)，再求出ci。将ci作为常数存起来，然后根据公式求出a就可以了。

27.1.6 程序

#include<stdio.h>
int main()
{    intp,e,i,d,a,t=0;
     while(1)
     {
         scanf("%d%d%d%d",&p,&e,&i,&d);
         if(p==-1&& e==-1 && i==-1 && d==-1)
              break;
         a=(5544*p+14421*e+1288*i-d+21252)%21252;
         if(!a)
              a=21252;
         printf("Case%d: the next triple peak occurs in %d days.\n",++t,a);
     }
     return 0;
}

27.2 实例

PKU JudgeOnline, 1006, Biorhythms.

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