C++——AVL树及其模拟实现

coco冯

已于 2023-10-27 11:20:45 修改

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文章标签： c++ 开发语言

于 2023-10-27 11:19:12 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/fsbwb/article/details/134069725

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1、新节点插入较高左子树的左侧——左左：右单旋

2、新节点插入较高右子树的右侧——右右：左单旋

3、新节点插入较高左子树的右侧——左右：先左单旋再右单旋

4、新节点插入较高右子树的左侧——右左：先右单旋再左单旋

四、AVL树的验证

五、AVL树的性能

一、AVL树的概念

搜索二叉树虽然可以缩短查找效率，但是数据如果有序或接近有序搜索二叉树将退化为单只树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。所以有了平衡二叉树，当向二叉树中插入新节点后，如果能保证每个节点的左右子树高度差的绝对值不超过1，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一颗AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的搜索二叉树：

·它的左右子树都是AVL树

·左右子树高度差的绝对值不超过1

如果一颗搜索二叉树是平衡的，他就是AVL树。如果它有n个节点，其高度可保持在O(log2n)，搜索时间复杂度O(log2n)。

二、AVL树的插入

1、AVL树节点的定义

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;

	pair<K, V> _kv;
	int _bf;  // balance factor

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
		, _bf(0)
	{}
};

2、AVL树的插入

	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		//找到要插入的节点
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first > kv.first)
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
		}
		cur->_parent = parent;

		//更新平衡因子
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_right)
			{
				parent->_bf++;
			}
			else
			{
				parent->_bf--;
			}

			if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				//继续想上更新
				parent = parent->_parent;
				cur = cur->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -1)
			{
				//进行旋转处理
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent); //右边引起的高度变高进行左旋
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent); //左边引起的高度变高进行右旋
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateRL(parent); //插入在右子树的左子树引起的高度变高先右旋在左旋
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent); //插入在左子树的右子树引起的高度变高先左旋再右旋
				}
				else
				{
					assert(false);
				}
				break;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}
		return true;
	}

三、AVL树的旋转

1、新节点插入较高左子树的左侧——左左：右单旋

上图插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树中，30的左子树高度增加，导致60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树上提，60转下来60变为30的右子树，如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，所以放在60的左子树，旋转完成后更新平衡因子。

旋转过程中有以下几种情况需要考虑

·30节点的右孩子可能存在，也可能不存在

·60可能是根节点，也可能是子树，如果是根节点，旋转完成后要更新根节点，如果是子树，可能是某个节点的左子树也可能是右子树

	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		Node* ppnode = parent->_parent;

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppnode->_left == parent)
			{
				ppnode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppnode->_right = subL;
			}
			subL->_parent = ppnode;
		}

		subL->_bf = parent->_bf = 0;
	}

2、新节点插入较高右子树的右侧——右右：左单旋

	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		Node* ppnode = parent->_parent;

		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		if (ppnode == nullptr)
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppnode->_left == parent)
			{
				ppnode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppnode->_right = subR;
			}
			subR->_parent = ppnode;
		}

		parent->_bf = subR->_bf = 0;
	}

3、新节点插入较高左子树的右侧——左右：先左单旋再右单旋

	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 1;
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

4、新节点插入较高右子树的左侧——右左：先右单旋再左单旋

	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;

		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);

		if (bf == 1)
		{
			subR->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subR->_bf = 1;
			parent->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subR->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

四、AVL树的验证

1、验证其为搜索二叉树

如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为搜索二叉树

2、验证其为平衡树

	bool _IsBalance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return true;
		}
		int leftH = _Height(root->_left);
		int rightH = _Height(root->_right);

		if (rightH - leftH != root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first << "节点平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}

		return abs(leftH - rightH) < 2
			&& _IsBalance(root->_left)
			&& _IsBalance(root->_right);
	}

五、AVL树的性能

AVL树是一颗绝对平衡的搜索二叉树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即O(log2n)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太合适了。