【形式语言与自动机】【《形式语言与自动机理论（第4版）》笔记】第三章：有穷状态自动机

最新推荐文章于 2025-07-08 17:20:33 发布

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3.1|语言的识别

3.2|有穷状态自动机

即时描述

$se t ()$

例题

问题 $1$

解答

问题 $2$

解答

3.3|不确定的有穷状态自动机

构造 $NF A$ 的等价 $D F A$

$NF A$

构造方式

状态转移函数

3.4|带空移动的有穷状态自动机

带空移动的不确定有穷状态自动机 $\varepsilon-NFA$

$\varepsilon-NFA$ 与 $NF A$ 等价

构造与 $M_{1}$ 等价的 $NFA \ M_{2}$

证明：对 $\forall x \in \Sigma^{+}$ ，有 $\delta_{2}(q_{0} , x) = \hat{\delta}_{1}(q_{0} , x)$

证明：对 $\forall x \in \Sigma^{+} , \delta_{2}(q_{0} , x) \cap F_{2} \neq \emptyset \Leftrightarrow \hat{\delta}_{1}(q_{0} , x) \cap F \neq \emptyset$

证明： $\varepsilon \in L(M_{1}) \Leftrightarrow \varepsilon \in L(M_{2})$

例题

问题

解答

3.5|FA是正则语言的识别器

$F A$ 接受的语言是正则语言

构造正则文法 $G$ ，使得 $\set{\varepsilon}$

证明： $\set{\varepsilon}$

关于 $\varepsilon$ 句子

正则语言可以由 $F A$ 接受

构造等价的 $F A$

证明 $L (M) = L (G)$

关于 $\varepsilon \in L(G)$

$F A$ 与左线性文法

根据左线性文法构造等价的 $F A$

构造 $D F A$ 等价的左线性文法

3.6|FA的一些变形

双向有穷状态自动机

确定的双向有穷状态自动机 $2 D F A$

不确定的双向有穷状态自动机 $2 NF A$

带输出的 $F A$

$M oore$ 机

$M e a l y$ 机

$M oore$ 机与 $M e a l y$ 机等价

3.1|语言的识别

3.2|有穷状态自动机

即时描述

设 $\Sigma , \delta , q_{0} , F)$ 为一个 $F A$ ， $x$ ， $\in \Sigma^{*}$ ， $\delta(q_{0} , x) = q$ ， $x q y$ 称为 $M$ 的一个即时描述，表示 $x y$ 是 $M$ 正在处理的一个字符串， $x$ 引导 $M$ 从 $q_{0}$ 启动并到达状态 $q$ ， $M$ 的读头当前正指向 $y$ 的首字符
如果 $x q a y$ 是 $M$ 的一个即时描述，且 $\delta(q , a) = p$ ，则 $\vdash xapy$

$se t ()$

设 $\Sigma , \delta , q_{0} , F)$ 为一个 $F A$ ，对 $\forall q \in Q$ ，能引导 $F A$ 从开始状态到达 $q$ 的字符串的集合为 $\set{x \mid x \in \Sigma^{*} , \delta(q_{0} , x) = q}$

例题

问题 $1$

构造一个 $D F A$ ，它接受的语言为 $\set{x \mid x \in \set{0 , 1}^{*} , 且当把 x 看成二进制数时 , x 模 3 与 0 同余}$

解答

状态说明	状态	$0$	$1$
开始状态	$q_{s}$	$q_{0}$	$q_{1}$
终止状态（模 $3$ 余 $0$ ）	$q_{0}$	$q_{0}$	$q_{1}$
（模 $3$ 余 $1$ ）	$q_{1}$	$q_{2}$	$q_{0}$
（模 $3$ 余 $2$ ）	$q_{2}$	$q_{1}$	$q_{2}$

问题 $2$

构造一个 $D F A$ ，它接受的语言 $\set{x \mid x \in \set{0 , 1}^{*} , 且对 x 中任意一个长度不大于 5 的子串 a_{1} a_{2} \cdots a_{n} , a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} \leq 3 (n \leq 5)}$

解答

$\set{q[\varepsilon]} \cup \set{q[a_{1} a_{2} \cdots a_{i}] \mid a_{1} , a_{2} , \cdots , a_{i} \in \set{0 , 1} 且 1 \leq i \leq 5 且 a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{i} \leq 3}$
$\set{q_{t}} \cup F$

$\begin{aligned} \delta(q[\varepsilon] , a_{1}) &= q[a_{1}] \\ \delta(q[a_{1}] , a_{2}) &= q[a_{1} a_{2}] \\ \delta(q[a_{1} a_{2}] , a_{3}) &= q[a_{1} a_{2} a_{3}] \\ \delta(q[a_{1} a_{2} a_{3}] , a) &= \begin{cases} q[a_{1} a_{2} a_{3} a] , & a_{1} + a_{2} + a_{3} + a \leq 3 \\ q_{t} , & a_{1} + a_{2} + a_{3} + a > 3 \end{cases} \\ \delta(q[a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}] , a) &= \begin{cases} q[a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a] , & a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a \leq 3 \\ q_{t} , & a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a > 3 \end{cases} \\ \delta(q[a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}] , a) &= \begin{cases} q[a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} a] , & a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a \leq 3 \\ q_{t} , & a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a > 3 \end{cases} \\ \delta(q_{t} , a) = q_{t} \end{aligned}$

3.3|不确定的有穷状态自动机

构造 $NF A$ 的等价 $D F A$

$NF A$

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构造方式

先只把开始状态 $q_{0}]$ 填入表的状态列中
如果表中的状态列中有未处理的状态，则任选一个未处理的状态 $[q_{1} , q_{2} , \cdots , q_{n}]$ ，对 $\Sigma$ 中的每个字符 $a$ ，计算 $\delta([q_{1} , q_{2} , \cdots , q_{n}] , a)$ ，并将结果填入相应的表项中
如果 $\delta([q_{1} , q_{2} , \cdots , q_{n}] , a)$ 在表的状态列中未出现过，则同时将它填入表的状态列
如此重复下去，直到表的状态列中不存在未处理的状态