给你的习题加上提示

起源

   复习MIT 的公开课 18.01--single variable calculus 时，注意到它的配套习题在每一个需要特定的解题技巧（ad hoc）而不是一般性思路的题都会有提示，尤其是这个技巧几乎不可能在短时间内通过演绎和试错发现的时候。

为什么这类提示很重要呢？

先得了解关于好题目和坏题目

       未鹏在《暗时间》的跟波利亚学解题--好题目，坏题目 中是这样说的：（推荐到他的博客看，这里写出来是给自己复习）

             在我看来，好题目即测试一个人思维的习惯的题目（因为知识性的东西是更容易弥补的，尤其是在这样一个年代；而好习惯不是一朝一夕养成的），它应有这样一些性质：

1. 不需要用到未知的知识。
2. 需要用到未知的知识，但一个敏锐的解题者可以通过对题目的分析自行发现这些所需的知识。
3. 考察解题的一般性思路，而不是特定的解题技巧，尤其是当这个技巧几乎不可能在短时间内通过演绎和试错发现的时候。譬如题目需要用到某种性质，而这个性质对于不知道它的人来说几乎是无法从对题目的考察中发现的。
4. 考察思维能力。联想能力，类比能力，抽象能力，演绎能力，归纳能力，观察能力，发散能力（思维不落巢臼的能力）。
5. 考察一般性的思维方法。通过特例启发思考，通过试错寻找规律，通过泛化试探更一般性命题，通过倒过来推导对问题进行归纳，通过调整（分解、删除、增加、修改）题目的条件来感知它们之间的联系以及和结论的联系，通过系统化的分类讨论来覆盖每种可能性。
6. 好题目举例。烙饼排序问题（考察特例启发法及观察能力）、Nim问题（还有简单版本的取火柴问题，烙饼排序问题和Nim问题可参见《编程之美》）、9公升水4公升桶倒6公升水的问题（考察倒过来思考的能力）、9点连线问题、6根火柴搭出四个面的问题，“木板”问题（考察思维定势，此外《心理学与生活》的第九章也有好几个经典的问题）、需要数论问题（观察、演绎、归纳能力）。

        而 坏题目呢：

1. 好题目各有各的好，坏题目都是类似的。
2. 坏题目基本上就是指那些所谓的 unfair questions，什么是unfair。举个例子：一个人住在一栋非常高的楼上，每天早晨他乘电梯下到一楼，出门上班。但晚上回来之后却最多只能坐到一半高度的楼层，剩下一半只能走楼梯上去，除非是下雨天。问为什么。这个例子据说不少人小时候在脑筋急转弯里面做过，但我很怀疑基本上任何正常人是不是可能想出来。这个问题的问题在于他需要用到千百个有可能与问题有关的性质中的一个，而且这个性质还根本无法通过对题目本身的考察得出来，只可能某天我们碰巧遇到类似的场景也许才能想到。知道答案的人也许会说答案很显然，但别忘了心理学上的事后偏见——一旦知道结果之后，所有指向结果的证据看上去都那么显然和充分，而同时所有反结果的证据看起来都那么不显然和不充分。譬如这题关键是要想到这人是矮子和雨天要带伞，也许你会说“只要考虑一下电梯的按钮面板就会发现了”，或者“看到下雨，那还不想到带伞么？”，然而这只是事后的合情推断。在不知道答案的情况下，这个故事中有数不清的因素可能会成为问题的解释，除非某天我们碰到类似的问题，否则大致也只能一个个穷举了去使劲往上凑，譬如除了身高之外还有：是不是瞎子、是不是聋子、是不是哑子、男人女人、什么牌子的电梯、大厦是哪种大厦？这些因素重要吗？不重要吗？最令人头疼的是，在不知道答案的时候，我们也根本不知道他们重不重要，一个出谜语的人可能从任何一个微小的地方引申出某个谜语来；更头疼的是，我们不知道我们不知道的那些因素是不是也可能与题目的解有关，譬如这样一个问题：一个人走进酒吧，问酒保要一杯水，酒保掏出一只枪，拉上扳机；这人说声“谢谢”，走了出去。这些题目固然有趣，但几乎没有价值。
   
3. 值得注意的是，这样的问题跟著名的9点连线问题和6根火柴搭出4个面的问题（还有《如何解题：现代启发式方法》里面那个经典的“小球在盒内碰撞何时回到原轨迹”的问题）不同，后者的条件都在眼前，并且解的搜索空间无论如何很小，就看思维能不能突破某一个框框。而上面这些问题则是要人进行根本不可能的联想。9点问题实际上是可以系统化思考解决的，但不公平的问题则像许多谜语一样，随便哪个人都可以出一个另一个人根本无法想出来的谜语，因为从谜语隐含的信息加上人可能从谜语中联想出来的信息，加起来也不足以构成解题的充分条件；这种情况下除非你遇到出题人在出题时的心理或所处情况，否则是无法解的。
   

        出题的误区

1. 最大的误区就是把知识性的题目误当成能力型的题目。如果题目中需要用到某个重要的定理或者性质，而对于一个原本不知道这个定理或性质的人来说是无法通过题目本身达到这个性质的，那这就属于知识性的题目。
2. 虽然几乎所有题目归根到底都是知识性的，但有些题目更为知识性，尤其是当解题中需要用到的定理和性质并不那么简单直白的时候。
3. 一个好题目就是问题明明白白，而且最终的解也没有用到什么神秘的定理，但要想获知到解，取决于你会不会思考一个问题（参见前面的好问题）。譬如烙饼问题和Nim问题，还有许许多多问题简洁明确但很锻炼思考的算法问题。

那为什么这类提示很重要呢？

1. 题目分考察和练习两种目的。
   
   为了区分，把后者称为习题吧。
   
   
2. 练习的意义。（同样来自暗时间）
   
   本质上，练习并不产生新能力。然而练习最重要的一个作用就是将外显记忆转化为内隐记忆。用大白话来说就是将平时需要用脑子去想（参与）的东西转化为内在的习惯。譬如我们一开始学骑自行车的时候需要不断提醒自己注意平衡，但随着不断的联系，这种技能就内化成了所谓的程序式记忆（内隐记忆的一种），从而就算你一边骑车一边进行解题这样需要消耗大量脑力的活动，也无需担心失去平衡（不过撞树是完全可能的，但那是另一回事）。
   
   同样，对于解题中的思维方法来说，不断练习这些思维方法就能做到无意识间就能运用自如，大大降低了意识的负担和加快了解题速度。
   
   不过，并非所有的练习方法都是等效的，有些练习方法肯定要比另一些更有效率。譬如就解题来说，解题是一项涉及到人类最高级思维机制的活动，其中尤其是推理（归纳和演绎）和联想。而后者中又尤数联想是最麻烦的，前面提到，绝大多数时候启发式方法实质上都是在为联想服务——为了能像晃筛子那样把你脑袋里那个关键的相关知识抖落出来。并且，为了方便以后能够联想，在当初吸收知识的时候就需要做最恰当的加工才行，譬如前面提到的“抽象”加工，除此之外还有将知识与既有的知识框架整合，建立最多的思维连接点（或者说“钩子”）。对于知识的深浅加工所带来的影响，《找寻逝去的自我》里面有精彩的介绍（里面也提到了提取线索对回忆的影响——从该意义上来说运用启发式思维方法来辅助联想，其实就是进行策略性记忆提取的过程）。最后，人类的无意识思维天生有着各种各样的坏习惯，譬如前面提到的范畴陷阱就是创新思维的杀手，譬如根据表面相似性进行类比也是知识转移的一大障碍。更遑论各种各样的思维捷径了（我们平常进行的绝大多数思考和决策，都是通过认知捷径来进行的）。所以说，如果任由我们天生的思维方式发展，也许永远都避不开无意识中的那些陷阱，好在我们除了无意识之外还多出了一层监督机制——意识。通过不断反省思维本身，时时纠正不正确的思考方式，我们就能够对其进行淬炼，最终养成良好的思维习惯。反之被动的练习虽然也能熟能生巧，但势必花的时间更多，而且对于涉及复杂的思维机制的解题活动来说，远远不是通过钱眼往油壶里面倒油这样简单的活动所能类比的，倒油不像思维活动那样有形形色色的陷阱，倒油不需要联想和推理，倒油甚至几乎完全不需要意识的辅助性参与，除了集中注意力（而解题活动就算对于极其熟练的人来说也不断需要大量的意识参与）。所以对于前者，良好的思维习惯至关重要，而反省加上运用正确的思维方法则是最终养成良好思维习惯的途径。
   
   练习还有另外一个很重要的作用，就是增加领域知识（关于知识在问题解决中的作用，前面已经提到过）。我们看到很多人，拿到一道题目立即脑子里就反应出解法，这个反应快到他自己都不能意识到背后有什么逻辑。这是因为既有的知识（我们常说的“无他，实在是题做得太多了”）起到了极大的作用，通过对题目中几个关键元素或结构的感知，大脑中的相关知识迅速被自动提取出来。而对于知道但不熟悉相应知识（譬如很早我们就知道归纳法，但是很久以后我们才真正能够做到面对任何一道可能用归纳法的题目就立即能够想到运用归纳法），或者干脆就不知道该知识的人来说，就需要通过启发法来辅助联想或探索了。后者可以一定程度上代偿对知识的不够熟悉，但在一些时候知识的缺失则是致命的（参见上面第2点）。不过要注意的是，那种看到题目直接反应出答案的或许也不是纯粹的好事，因为这样的解题过程严重依赖于既有知识，尤其是做过的类似的题目，其思维过程绝大部分运用的是联想或类比，而非演绎或归纳。更重要的是，联想也分两种，被动联想和策略性联想（参考《找寻逝去的自我》），这里用的却是被动联想。所以，能直接反应出答案并不代表遇到真正新颖的题目的时候的解决能力，后者由于不依赖于既有领域知识，就真正需要看一个人的思维能力和习惯究竟如何了。
   
   
3. 好习题，坏习题
   
   评价用于练习的习题和用于考察的题目的区别在于，好习题应该是帮助练习者“将外显记忆转化为内隐记忆”，“增加领域知识”。因此知识型的题（也许里面也同时考察能力，但那个特定的知识会成为练习者的拦路虎）也属于坏习题。  因为它作为习题不仅达不到帮助的目的，还附带打击（练习积极性、兴趣）效果。 如果大家有观察的话，不少中学的题目就属于上面说到的“坏题目”。有几个老师私下跟我们学生抱怨一些老师喜欢出“难题”，以别人做不出来为荣，显得自己水平高。其实这个跟未鹏在暗时间里举的坏题目的例子是一模一样的。至于坏习题的危害，相信很多人都会有所体会的。
   
   
4. 提示让坏习题变好习题
    MIT的18.01的习题让我乐在其中，对于喜欢的东西，练习本身就是吸引人的事情。另外一方面，习题需要帮助练习者增加特定的领域知识，这就必须在习题中引入“特定知识”而让它成为坏习题。
   
   解决的方法是，给习题加上提示。用提示帮助练习者免于坏习题的打击，练习者利用提示得到解题需要的特定知识，用一般性思路解决了看似复杂的题目，又从提示中获得了领域知识，获得了愉悦，满足感，自然形成  练习--愉悦--知识和能力增长---愉悦---练习  的良性循环。
   
   

例子

求极限：

 

指数是3n。如果你一时忘了这个题需求的特定知识的话，估计就懵了，无法做下去。如果加上这个提示呢：

哈，现在很明显了吧。这道习题要练习的一般性思路是极限运算法则:Lim(ab) = lim(a) + lim(b) 完整的解如下：

最后

推荐大家做一些公开课的配套习题，题目是好习题，提供的习题解答更有好思维方法（approach）。最后这篇文章几乎是未鹏的  跟波利亚学解题  的转载，少部分自己的加工思考。但是根据 你为什么现在就应该开始写博客，还是决定写出来，不过只敢标了个翻译 instead of 原创。