蓄水池问题

最新推荐文章于 2022-09-25 13:45:51 发布

原创最新推荐文章于 2022-09-25 13:45:51 发布 · 1k 阅读

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蓄水池问题描述：

假设有N个数，从中随机抽取K个数字，如果保证抽取的过程是等概率的？其中N是不固定的

类似问题：

1. 从100个数字抽取20个，如果向100个数字中再增加20个呢？

2. 给你一个长度为N的链表，N很大，但你不知道N有多大，你的任务是从这N个元素中取出K个元素，你只能遍历一次这个链表，算法保证取出的元素恰好有

K个，且他们是完全随机的.

3. 从一个不知长度的文件中随机取出K行

4. 从实时搜索的词中随机抽出K个词

由于N是无法在抽取是确定的，但是又要保证是随机的，所以此问题需要一个特定的算法，即是蓄水池算法

算法用代码表示如下：

int N,K;
    void slove(int N,int K){
         int *num = new int[N];  //  num[0..K-1]存放蓄水池的元素，总共K个
         for(int i = 0;i < N;i++)
         num[i] = i+1;
         for(int i = K;i < N;i++){
              int p = rand()%K;
              if(p < K)
              swap(num[i],num[p]);        
         }
    }

假设K = 20000，当有20001个元素时，第20001个元素被抽中的概率是20000/20001，那么前20000个元素被抽中的概率是多少呢？如果利用上面的蓄水池算法也是20000/20001,那么就符合我们的要求，下面用数学归纳法加以证明：

蓄水池中最多放入K个元素，设定当前元素为i,当i = K+1，K+2....，N时，

1. 当i = K+1是，第i个元素出现在蓄水池中的概率是K/K+1,前K个元素出现在蓄水池中的概率显然也是K/K+1

2. 假设当j = i 时,而且第i个元素出现在蓄水池中的概率是K/i,那么前i-1个元素出现在蓄水池中的概率也是K/i

3. 当j = i+1时，第i+1个元素出现在蓄水池中的概率明显是K/（i+1），现在证明前i个元素出现在蓄水池中的概率也是K/(i+1)

前i个元素出现在蓄水池中说明 ① 在第i+1次选择前，前i个元素已经在蓄水池中②在第i+1次选择时，前i个元素没有被替换掉

①由2知，前i个元素已经在蓄水池中的概率是是K/i

②先考虑被替换的因素，被替换说明：第一，第i+1个元素被抽中，概率是K/(i+1);第二，有一个蓄水池元素被抽中，概率是1/K

那么某个元素被替换的概率是K/(i+1) * 1/K = 1/(i+1)，那么前i个元素在池中且没有替换掉的概率是1-1/(i+1) = i/(i+1)

综上所述，前i个元素出现在蓄水池中的概率是（K/i）*（i/(i+1)）= K/(i+1).

参考文献：http://blog.youkuaiyun.com/linuxerhqt/article/details/6883785

陈利人待字闺中