数据结构7——主席树初步

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好吧为什么我突然想起来要去写主席树呢？因为在做codeforces 787E这题的时候，我用了二分+剪枝的算法莫名其妙的过了，然而时间复杂度算出来感觉不对。网上一查，也有这么过的，但是主要还是写了主席树，所以回来想到是不是应该学一下主席树。

主席树最经典的应用就是在求区间第$k$大的问题了。我们来看一下例题POJ 2104。题目大意就是求区间第$k$大，数据范围$n\le 10^5,m\le 5\times 10^3$。

题目描述

You are working for Macrohard company in data structures department. After failing your previous task about key insertion you were asked to write a new data structure that would be able to return quickly k-th order statistics in the array segment.
That is, given an array $a[1...n]$ of different integer numbers, your program must answer a series of questions $Q(i,j,k)$ in the form: “What would be the k-th number in $a[i...j]$ segment, if this segment was sorted?”
For example, consider the array $a=(1,5,2,6,3,7,4)$. Let the question be $Q(2,5,3)$. The segment $a[2...5]$ is $(5,2,6,3)$. If we sort this segment, we get $(2,3,5,6)$, the third number is $5$, and therefore the answer to the question is $5$.

样例

Input	Ouput
7 3 1 5 2 6 3 7 4 2 5 3 4 4 1 1 7 3	5 6 3

解题思路

我们首先考虑如何暴力地维护这个东西。
我们知道，对于一个给定的数列$a[1...n]$的第$k$大，我们可以将其离散化，也就是每个数对应的编号是它在数列里从大到小排的第$i$个。然后建立一个线段树来维护这个离散后的区间$ord[1...n]$。
简单来说，比如数列 { 1 , 1 , 4 , 5 , 1 , 4 } \{1,1,4,5,1,4\} {1,1,4,5,1,4}，我们注意到$1$出现$3$次，$4$出现$2$次，$5$出现$1$次，那么我们离散化之后，$1$就对应编号$1$，$4$对应编号$2$，$5$对应编号$3$，其中编号为$1$的出现了$3$次（以此类推），得到数组 b = { 3 , 2 , 1 } b=\{3,2,1\} b={3,2,1}。数组$b$就表示出现的次数。然后建一个线段树维护数组$b$。这个操作实际上是每次对于一个叶节点，将该叶节点到根路径上的点全部权值加$1$。
接下来怎么查找第$k$大呢？我们可以在整颗线段树上二分，对应当前节点$o$，如果$o$控制的区间里出现的次数大于当前查的$rank$，那么我们就在$o$的左儿子里继续二分，查找第$rank$大的位置；否则在右儿子里二分，查第$rank-sz$大的位置，其中$sz$表示$o$左儿子控制的大小。这个递归原理比较简单，这里不再多说。
但是这个算法对于给定区间$[1,x]$查询的复杂度是$O(n{\log }_{2}n)$。对于任意区间，我们需要维护$n$棵线段树，第$i$棵维护$[1,i]$的区间第$k$大，这样当查$[l,r]$时，我们就可以用$[1,r]-[1,l)$来求答案了。复杂度变成$O(n^2\cdot {\log }_{2}n+q\cdot \log n)$。太大了。

于是我们考虑优化一下这个线段树。
我们知道，我们在维护第$i$个线段树的时候，对于第$i+1$个线段树，我们只修改了其中的一条链——就是$a[i+1]$对应的那条，那么我们是不是可以不用特意建一棵树呢？于是我们找到了一个办法——只把路径上的那一串点全部用新的点替代，剩下的不变！于是就变成了下面这样的图。注意，每次修改完之后，我们要把$ord$数组对应的点（就是离散化的编号）换成新的。

每一次的操作都是$O({\log }_{2}n)$的，空间每次也只增加了$O({\log }_{2}n)$。于是我们$n$棵线段树总的维护时间就是$O(n{\log }_{2}n)$，空间$O(n{\log }_{2}n)$，查询是$O(q{\log }_{2}n)$的。我们就很愉快的解决了这个问题。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
const int MAXN=100010;
const int MAXM=MAXN<<6;

struct node{
	int sum,l,r;
}tr[MAXM];
int n,m;
int a[MAXN],ord[MAXN],num[MAXN];
int top=0,rt[MAXN];

int find_pos(int k){
	int l=1,r=n;
	while(l+1<r){
		int mid=(l+r)>>1;
		if(ord[mid]>=k)
			r=mid;
		else
			l=mid;
	}
	if(k==ord[l])
		return l;
	else
		return r;
}
void addt(int num,int o,int l,int r){//修改一条链
	tr[++top].sum=tr[o].sum+1;//new node
	if(l==r){
		tr[top].l=tr[top].r=tr[o].l;
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if(num<=mid){
		tr[top].l=top+1;tr[top].r=tr[o].r;
		addt(num,tr[o].l,l,mid);
	}
	else{
		tr[top].l=tr[o].l;tr[top].r=top+1;
		addt(num,tr[o].r,mid+1,r);
	}
}
int query(int lt,int rt,int k,int l,int r){
	if(l==r)
		return l;
	int mid=(l+r)>>1;
	int rk=tr[tr[rt].l].sum-tr[tr[lt].l].sum;//[1,r]-[1,l)得出左儿子的大小
	if(k<=rk)
		return query(tr[lt].l,tr[rt].l,k,l,mid);
	else
		return query(tr[lt].r,tr[rt].r,k-rk,mid+1,r);
}

int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		ord[i]=a[i];
	}
	std::sort(ord+1,ord+1+n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		num[i]=find_pos(a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		rt[i]=top+1;//实际对应结点编号
		addt(num[i],rt[i-1],1,n);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int l,r,k;scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);
		printf("%d\n",ord[query(rt[l-1],rt[r],k,1,n)]);
	}
	return 0;
}

总结

主席树一般可以用来求解区间第$k$大问题，是线段树的一种拓展，融合了树上二分、等效替代等多种思想。
对于主席树其实还有一个名称叫可持久化线段树，他们之间有什么联系呢？
可持久化，就是要查询历史版本。想一下我们每次更新的时候是怎么做的吗？加入新点，扔掉旧点——我想你应该明白了，如果把这些旧点回收利用，那么我们就可以知道它以前长什么样。
还是感觉有点复杂的。