立体匹配算法之引导滤波代价聚合

         本文内容来自于2014年Pauline Tan以及 Pascal Monasse在IPOL上发表的文章《Stereo Disparity through Cost Aggregation with Guided Filter》，该文献最主要的贡献是在局部立体匹配算法中提出了用引导滤波器进行代价聚合。

        由于在像素到像素之间直接进行相似度比较会对噪声十分敏感。所以，每一个点的匹配代价P(i) = C(i, d)需要进行滤波。自从被设计为具有边缘保持特性，将IL作为引导图像的引导滤波就被采用进行代价聚合。

       记引导图（导向图）为G，输入图像为P，输出图像为Q，引导滤波的目标就是：使得原始的输入和输出尽可能相同，同时纹理部分与引导图G相似。设定前一个位目标1后一个为目标2。于是对于目标1(输入图像P和输出图像Q尽可能相似)，可以用公式描述为：                              

                                   （1）      

        对于目标2(输出图像Q的纹理和引导图G尽可能相似)，用公式描述为：

                       (2)

上式中如果Q为单通道图像，G为多通道，那么a为一个向量；如果Q和G通道数相同，那么a为标量或者对角矩阵。显然，a的值越小，最后的输出图像也就越平滑。
       对于目标2，可以对等式两边取定积分，从而得到：

                       (3)

       将式3代入式1，可以得到能量函数如下：

   

       其中εa² 为正则项，防止a过大。对能量函数进行求偏导即可求取a, b。下面结合具体图像窗口对a, b进行求解。设定图像I作为引导(灰度)图像并且q作为滤波输出。对于每个窗口ωk，其半径为rGF并且以k为中心（根据定义，半径为r、边长2×r + 1并且|ωk|的表示窗口ωk中的像素数），一个依赖于参数k的待滤波图像qk被定义为在窗口ωk中的I的线性变换：

                                            ∃ak, bk, ∀i ∈ ωk,  qk(i) = ak · I(i) + bk.   

如果k太靠近图像边缘，那么我们只考虑窗口中保留在图像的部分（见下图）。

在窗口ωk中，由于ak和bk是常数，对(1)式求导，所以我们可以写

                                                                 ∇qk = ak∇I.

也就是说，图像I中的强边缘意味着qk中出现强边缘。 因此，引导滤波器保留了引导图像中的边缘。为了确定系数ak和bk，滤波器输入p和输出qk 之间的二范数取最小。因此，这个问题的能源方程是：