ARC058 E Iroha and Haiku 状压dp

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题意：
你现在有n个数，每一个数可以填1到10中的任何一个数，求满足下列条件的序列数量：对于给定的$X,Y,Z$，当一个数组存在$0<=x<y<z<w<=N$满足下述方程组的时候：$$\sum _x^{y-1}=X\sum _y^{z-1}=Y\sum _z^{w-1}=Z$$ 其中$n<=40,x<=5,y<=7,z<=5$。

题解：
这题正向思考的话枚举先符合x的、再符合y的、最后符合z的可能会有重复，比如$x=5,y=5,z=5$时$5555$这个序列很容易被多次计算，那么我们不妨考虑用所有的数量减去不符合要求的方案数。

我们发现$x,y,z$都很小并且总和只有17，于是我们考虑状压。这里的状压是这样的，我们对于十进制数$x$，把它转化成$x$位二进制数，如果加上一个数$y$，那么就把$x$左移$y$位，然后再把第$y$位变成1。如第一个数是4，那么我们状压后就是1000，再加上2就先把1000左移2位变成100000，再吧第二位变成1，就是100010，这样就表示了当前状态。我们用$x+y+z$位表示所有状态，因为比$x+y+z$更高的位对于我们判断是否合法已经没有用处了，总共有$2^{x+y+z}$个状态。我们发现，符合题目要求的情况是第$x+y+z-1$位是1，第$y+z-1$位是1，第$z-1$位是1，那么我们dp转移一下，只要不是这种情况就转移。我们设$dp[i][S]$为前$i$个数，当前集合是$S$的方案数，那么我们枚举一下上一个状态，枚举当前选什么数，然后计算出转移到什么就行了，就是普通的状压dp。最后用$10^n$减去所有的$dp[n][S]$。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,x,y,z,mx,ji;
const long long mod=1e9+7;
long long ans,dp[45][1000010];
int main()
{
	scanf("%d%d%d%d",&n,&x,&y,&z);
	ans=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	ans=ans*10%mod;
	mx=(1<<(x+y+z))-1;
	ji=(1<<(x+y+z-1));
	ji|=(1<<(y+z-1));
	ji|=(1<<(z-1));
	dp[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		for(int j=0;j<=mx;++j)
		{
			if(dp[i-1][j]==0)
			continue;
			for(int k=1;k<=10;++k)
			{
				int cur=(j<<k)|(1<<(k-1));
				cur&=mx;//只取后(x+y+z)位
				if((cur&ji)==ji)
				continue;
				dp[i][cur]=(dp[i][cur]+dp[i-1][j])%mod; 
			}
		}
	}
	for(int i=0;i<=mx;++i)
	ans=(ans-dp[n][i]+mod)%mod;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}