【SPOJ 3105 】Mod

最新推荐文章于 2024-06-13 21:08:33 发布

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#exBSGS

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BSGS

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本文介绍了一道关于求解模意义下指数方程最小自然数解的问题，并通过exBSGS算法给出了具体的解决方法。该算法适用于求解形如a^x ≡ b (mod p)的方程，通过对算法步骤的详细解释及示例代码展示，帮助读者理解并掌握exBSGS算法的核心思想。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【题目】

传送门

题目描述：

已知数 $a, p, b$ ，求满足 $a^x≡b(\,\mathrm{mod}\; p)$ 的最小自然数 $x$ 。

输入格式：

每个测试文件中最多包含 $100$ 组测试数据。

每组数据中，每行包含 $3$ 个正整数 $a, p, b$ 。

当 $a = p = b = 0$ 时，表示测试数据读入完全。

输出格式：

对于每组数据，输出一行。

如果无解，输出 “No Solution”（不含引号），否则输出最小自然数解。

样例数据：

输入
5 58 33
2 4 3
0 0 0

输出
9
No Solution

说明：

对于 $100\%$ 的数据， $a,p,b≤10^9$ 。

【分析】

这是一道 exBSGS 的模板题。

具体的做法就看我的另一篇博客 BSGS。

【代码】

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<tr1/unordered_map>
#define ll long long
using namespace std;
using namespace tr1;
unordered_map<int,int>Hash;
int Power(ll a,ll b,int p)
{
	ll ans=1;
	for(;b;b>>=1,a=a*a%p)if(b&1)ans=ans*a%p;
	return ans;
}
void exBSGS(int a,int b,int p)
{
	int i,num=0,k=1;
	int t=ceil(sqrt(p));
	while(1)
	{
		int Gcd=__gcd(a,p);
		if(Gcd==1)  break;
		if(b%Gcd){puts("No Solution");return;}
		b/=Gcd,p/=Gcd,num++,k=(ll)k*(a/Gcd)%p;
		if(k==b){printf("%d\n",num);return;}
	}
	int now=b;
	Hash.clear();
	for(i=0;i<t;++i)
	  Hash[now]=i,now=(ll)now*a%p;
	now=k,a=Power(a,t,p);
	for(i=0;i<=t;++i)
	{
		int j=(Hash.find(now)==Hash.end())?-1:Hash[now];
		if(j>=0&&i*t-j>=0)  {printf("%d\n",i*t-j+num);return;}
		now=(ll)now*a%p;
	}
	puts("No Solution");
}
int main()
{
	int a,p,b;
	while(scanf("%d%d%d",&a,&p,&b))
	{
		if(!a&&!b&&!p)  break;
		exBSGS(a,b,p);
	}
	return 0;
}