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最新推荐文章于 2022-02-19 21:36:55 发布

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#Kruskal #倍增 #Kruskal重构树

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--------图论--------

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最小生成树

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本文详细解析了求解最小瓶颈路问题的两种算法：Kruskal+倍增和Kruskal重构树。通过实例讲解了如何利用这两种算法解决图论中的路径问题，包括构建最小生成树、使用倍增技巧求解LCA以及重构树的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【题目】

传送门

Description

给你 $n$ 个点的无向图（ $1$ ≤ $n$ ≤ $15, 000$ ），记为： $1 \dots n$ 。

图中有 $m$ 条边（ $1$ ≤ $m$ ≤ $30, 000$ ），第 $j$ 条边的长度为： $d_j$ （ $1$ ≤ $d_j$ ≤ $1, 000, 000, 000$ ）。

现在有 $k$ 个询问（ $1$ ≤ $k$ ≤ $20, 000$ ）。

每个询问的格式是： $a$ $b$ ，表示询问从 $a$ 点走到 $b$ 点的所有路径中，最长的边最小值是多少？

Input

第一行： $n, m, k$ 。

第 $2 . . m + 1$ 行：三个正整数： $x, y$ 和 $d$ （ $1$ ≤ $x$ ≤ $n$ ； $1$ ≤ $y$ ≤ $n$ ）。表示 $x$ 与 $y$ 之间有一条长度为 $d$ 的边。

第 $m + 2 . . m + k + 1$ 行：每行两个整数 $a$ $b$ ，表示询问从 $A$ 点走到 $B$ 点的所有路径中，最长的边最小值是多少？

Output

对每个询问，输出最长的边最小值是多少。

Sample Input

6 6 8
1 2 5
2 3 4
3 4 3
1 4 8
2 5 7
4 6 2
1 2
1 3
1 4
2 3
2 4
5 1
6 2
6 1

Sample Output

5
5
5
4
4
7
4
5

HINT

$1$ ≤ $n$ ≤ $15, 000$
$1$ ≤ $m$ ≤ $30, 000$
$1$ ≤ $d_j$ ≤ $1, 000, 000, 000$
$1$ ≤ $k$ ≤ $15, 000$

【分析】

这道题有两种解法，个人觉得这两种都不错哦

题解 $1$ ：Kruskal+倍增

很容易可以看出来，题目中要求的东西（实际上叫做最小瓶颈路）一定在最小生成树上

因为如果要使最大的边最小，我们肯定就用最小的边将图连通，那就是最小生成树

那么就先用做一遍最小生成树，然后把在最小生成树上的边留下来，其它的就可以不要了

怎么求这个最长的边最小值是多少呢？考虑倍增，我们记录 $Max_{i,j}$ 表示从 $i$ 跳 $2^j$ 步内的最大值

然后剩下的就和倍增求 $l c a$ 差不多了，可以直接套模板（只用改一点东西）

题解 $2$ ：Kruskal重构树

~~今天又学了个神奇东西~~

$K r u s k a l$ 重构树具体是什么东西我也就不细说了（推荐一下这篇博客）

对于这道题， $K r u s k a l$ 重构树有一个很好的性质，即原树中两点之间的最小瓶颈路等于新树上两点的 $l c a$ 的点权

根据这个性质，我们把 $K r u s k a l$ 重构树建造出来，每次找个 $l c a$ 就行了

【代码】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 15005
#define M 30005
#define inf (1ll<<31ll)-1
using namespace std;
int n,m,k,t;
struct edge{int u,v,w;}a[M];
int first[N],v[M],w[M],nxt[M];
int dep[N],father[N],fa[N][20],Max[N][20];
bool comp(const edge &p,const edge &q)  {return p.w<q.w;}
void add(int x,int y,int z)  {nxt[++t]=first[x];first[x]=t;v[t]=y;w[t]=z;}
int find(int x)
{
	if(father[x]!=x)
	  father[x]=find(father[x]);
	return father[x];
}
void Kruskal()
{
	int x,y,i;
	sort(a+1,a+m+1,comp);
	for(i=1;i<=m;++i)
	{
		x=find(a[i].u);
		y=find(a[i].v);
		if(x!=y)
		{
			father[x]=y;
			add(a[i].u,a[i].v,a[i].w);
			add(a[i].v,a[i].u,a[i].w);
		}
	}
}
void dfs(int x)
{
	int i,j;
	for(i=1;i<=17;++i)
	{
		fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
		Max[x][i]=max(Max[x][i-1],Max[fa[x][i-1]][i-1]);
	}
	for(i=first[x];i;i=nxt[i])
	{
		j=v[i];
		if(j!=fa[x][0])
		{
			fa[j][0]=x;
			Max[j][0]=w[i];
			dep[j]=dep[x]+1;
			dfs(j);
		}
	}
}
int get(int x,int y)
{
	int i,j,maxn=0;
	if(dep[x]<dep[y])  swap(x,y);
	for(i=17;~i;--i)
	  if(dep[fa[x][i]]>=dep[y])
	    maxn=max(maxn,Max[x][i]),x=fa[x][i];
	if(x==y)  return maxn;
	for(i=17;~i;--i)
	{
		if(fa[x][i]!=fa[y][i])
		{
			maxn=max(maxn,Max[x][i]),x=fa[x][i];
			maxn=max(maxn,Max[y][i]),y=fa[y][i];
		}
	}
	maxn=max(maxn,Max[x][0]);
	maxn=max(maxn,Max[y][0]);
	return maxn;
}
int main()
{
	int x,y,i,j;
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	for(i=1;i<=n;++i)  father[i]=i;
	for(i=1;i<=m;++i)  scanf("%d%d%d",&a[i].u,&a[i].v,&a[i].w);
	Kruskal();
	dep[1]=1,dfs(1);
	for(i=1;i<=k;++i)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		printf("%d\n",get(x,y));
	}
	return 0;
}

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 100005
using namespace std;
int n,m,k,tot;
struct edge{int u,v,w;}a[N];
int dep[N],val[N],father[N],son[N][2],fa[N][20];
bool comp(const edge &p,const edge &q)  {return p.w<q.w;}
int find(int x)
{
	if(father[x]!=x)
	  father[x]=find(father[x]);
	return father[x];
}
void Kruskal()
{
	int x,y,i;
	sort(a+1,a+m+1,comp);
	for(i=1;i<=m;++i)
	{
		x=find(a[i].u);
		y=find(a[i].v);
		if(x!=y)
		{
			tot++,son[tot][0]=x,son[tot][1]=y;
			father[x]=father[y]=fa[x][0]=fa[y][0]=tot;
			val[tot]=a[i].w;
		}
	}
}
void dfs(int x)
{
	if(son[x][0])  dep[son[x][0]]=dep[x]+1,dfs(son[x][0]);
	if(son[x][1])  dep[son[x][1]]=dep[x]+1,dfs(son[x][1]);
}
int lca(int x,int y)
{
	int i,j;
	if(dep[x]<dep[y])  swap(x,y);
	for(i=17;~i;--i)
	  if(dep[fa[x][i]]>=dep[y])
	    x=fa[x][i];
	if(x==y)  return x;
	for(i=17;~i;--i)
	  if(fa[x][i]!=fa[y][i])
	    x=fa[x][i],y=fa[y][i];
	return fa[x][0];
}
int main()
{
	freopen("1.in","r",stdin);
	int x,y,i,j;
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	for(i=1;i<=(n<<1);++i)  father[i]=i;
	for(i=1;i<=m;++i)  scanf("%d%d%d",&a[i].u,&a[i].v,&a[i].w);
	tot=n,Kruskal();
	dep[tot]=1,dfs(tot);
	for(j=1;j<=17;++j)
	  for(i=1;i<=tot;++i)
	    fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];
	for(i=1;i<=k;++i)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		printf("%d\n",val[lca(x,y)]);
	}
	return 0;
}