目录
一. 介绍
系列文章：
在以上文章中，我们证明了一个非常重要的定理，此处我们来简单回顾一下该定理想表达的内容。
令N代表一个整数，f代表“首1”且次数为d的多项式，也就是满足：
其中“首1”的含义是最高次数项的系数为1。下标N代表多项式的每个系数均小于N，类似于模N的效果。
如果现在我们想求解一个方程为：
该方程的本质就是求根。本身求一个应该难度不大，但如果需要满足如下两个限制条件的情况下，以上定理告诉我们可以求出对应的整数解x：
将以上过程可以形式化表达为一定定理：
此处的定理很类似网络空间安全中的小整数解问题，我们知道一般求小整数都是很难的。但该定理告诉我们可以求，所以也常被用于攻击RSA公钥密码系统。
在以上过程中，整数N是由两个大素数相乘得到（RSA公钥密码系统的公钥来源），我们是不知道这两个大素数具体等于多少。如果可以找出这两个大素数，那么RSA密码系统则可以直接被攻破，也就是可以利用欧拉定理直接求出私钥，反应在此处的问题上，当然也就会存在更有效的寻找根的算法。
以上问题的本质则是在模数情况下，求根的问题。
二. RSA明文求解算法
2.1 定理解释
假定有k个两个互素的整数，也就是我们把明文传递给了k个不同的人，如下：
其中必定存在一个最小的N，我们将其记为：
N相当于RSA中的公钥，所以都是公开的。
将RSA的加密过程抽象成多项式的运算过程，那么也就是有k个多项式，这些多项式中最大的次数设定为d，如下：
很明显明文M的大小肯定小于所有N的值，也就是可得：
正如刚才所提到的，把RSA的加密过程看成多项式的运算过程，那么也就有k个密文，如下：
我们要求密文的个数要满足：
综合以上在给定如下信息的情况：
我们可以直接攻破RSA密码系统，并获得明文M
将以上过程形式化表达为一个定理，如下：
2.2 定理证明
原多项式为g，所求的值为C，我们将其换个新的多项式，如下：
那么原来的问题，则变为：
不失一般性，也可以假设此处的多项式hi也是“首1”（monic）的多项式。那如果不是怎么办？
那就求mod Ni下的逆，则可以把其系数转变为1.那如果该数没有模逆，怎么办？
没有模逆说明两者不互素，这不就找到形成N的素数了吗！RSA系统直接被攻破。
同样，假设所有的多项式hi的次数均为d，当然如果不够d的话，两边同时乘以x相应的次数即可，该过程不改变多项式的根。
接下来，借助中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）讲这些多项式hi合并成一个多项式h,我们可以将其计算为：
简单分析下此处的中国剩余定理：
以上等式的来源于Ti到底应该怎么选取，我们的原则是当下标相等时，模的结果为1，也就是：
当下标不等时，模完的结果为0，也就是：
借助中国剩余定理的性质，我们总结出最终的多项式h(x)需要满足三个性质：
（1）次数
h(x)的次数与原始的多项式保持一致，均为d
（2）首1
h(x)的最高次数的系数为1，模任何的Ni均为1
（3）根不变
很明显最终的h(M)依旧为0，模最大的相乘结果的N
综上我们可以利用已有的性质证明：
第一个不等式：明文M需要满足的基本条件
第二个不等式：最小的N满足的结论
第三个不等式：来源k>d可得
如果明文M满足如上条件，那么我们可以直接利用已有的求根定理得出最终的结果M。
定理证明完毕。
三. 分析
在数学领域有一个问题，如果我们将自变量的取值限定为：
那么一个多项式的次数为d时，且模N的情况下有多少个根呢？
以上的分析告诉我们，当此处的B限定为：
那么至少可以求出一个根。
当把次数d提高到2d-1时，上限B设定为：
也可以多项式时间内求出一个根x出来。
需要注意的是，本文章分析出的定理所使用B的上限为：
有的时候并不能把所有满足的根全求出来，通常只能求出一部分。比如举一个例子，我们的N可以取：
多项式举一个简单的例子：
那么根据以上的结果，我们求根的范围可以限定成：
那么在这个范围内，该多项式有很多根，其根的个数大约有：
这是一个类似指数个数的空间，大概率不能全部求出来。
四. 推荐文献
（1）攻击RSA密码系统的方法合集
Dan Boneh. Twenty years of attacks on the RSA cryptosystem. Notices of the American Mathematical Society (AMS), 46(2):203–213, 1999.
（2）模多项式根的求解分析
Don Coppersmith. Finding small solutions to small degree polynomials. Lecture Notes in Computer Science, 2146:20–31, 2001.
五. 小结
1057
扫一扫
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
