红黑树

1. 性质

1. 每个结点或是红色的，或设黑色的。
2. 根结点是黑色的。
3. 每个叶子结点(NIL)是黑色的。
4. 如果一个结点是红色的，则它的两个子结点都是黑色的。
5. 对每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点。

其核心思想是，对于任意一个子树（当然，整棵树本身也是它自己的一个子树）， 从子树的根结点到每个叶结点的简单路径上：

• 黑色结点数目相同。
• 不能有连续的红色结点（可以有连续的黑色结点）。

所以，最长路径是最短路径的2倍。比如，对于一个子树，从它的根到所有叶子的每条简单路径上，黑色结点数目是N+1(N个非NIL加上一个NIL)，那么其中最多嵌入N个红色结点（每个非NIL黑色结点后都嵌入一个红色结点），否则，就会出现连续的红色结点。也就是说，最短路径长度为N+1（全是黑色结点），最长路径长度为2N+1(每个非NIL黑色结点后都有一个红色结点），是2倍的关系。这就是红黑树要达到的目标：接近平衡，而不会出现有的子树过高，有的子树过低，最多2倍。

需要注意一点：NIL是黑色的，也就是说，出现黑结点的地方，可能是NIL，在编程的时候需要小心。

2. 左旋转和右旋转

旋转的特点：保持二叉查找树的性质（按中根遍历，结点是有序的）。如何记忆：
以x为当前结点进行左旋转：x变成（它的右孩子的）左孩子（同时，保持二叉查找树的性质）。
以x为当前结点进行右旋转：x变成（它的左孩子的）右孩子（同时，保持二叉查找树的性质）。

3. 插入操作

插入操作的步骤是这样的：

• 按二叉查找树的算法，将目标结点插入；
• 把目标结点设置为当前结点，并把它着红色；
• 这时可能违背红黑树的性质，所以，进行修正；

其难点就在于如何修正。为了理解修正算法，我们先看看这时可能违背红黑树的哪些性质：

• 性质1：不违背；
• 性质2：若当前结点就是根结点（插入之前，是一棵空树），则违背；否则，不违背；
• 性质3：不违背；
• 性质4：若当前结点的父亲是红色，则违背；否则，不违背；
• 性质5：不违背，因为当前结点被着红色，所以，被插路径上的黑色结点数目不变；

也就是说，结点插入后，可能违背性质2和性质4，有一下几种情形：

1. 违背性质2：当前结点为根结点（插入之前，是一棵空树）。这个容易修正，直接改着黑色就万事大吉。
2. 不违背性质2，也不违背性质4：不违背任何性质，已经是一棵合法的红黑树，无须修正。
3. 不违背性质2，但是违背性质4：需要修正。

下面就着重看第3种情形：违背性质4。也就是说，当前结点和它的父亲都是红色。这一共有以下3类6种（1-a, 1-b, 2-a, 2-b, 3-a, 3-b）情况：

3.1 类别1

类别1的特点是：父亲和叔叔都是红色的。注意，这种情况下，祖父结点一定存在，因为红结点一定有黑色的父亲结点。重申一下，我们违背的只有性质4：存在连续的红色结点。为了解决这个问题：

• 我们把父亲和叔叔都改为黑色，祖父改为红色（这样做可以保证：被影响的径上的黑色结点数目不变——一增一减，不至于违背性质5）。
• 把祖父设置为当前结点。

由于当前结点刚刚由黑色变为红色，可以把它看作新插入的结点，重头进行修正过程。若它一直违背类别1，则一直重复上面的操作，直到下面任意一种情况出现：

1. 当前结点是根结点（违背性质2）。这时，直接把它改着黑色即可。因为，把根结点由红色改着黑色相当于：在每条由根到叶的路径上，黑结点数目都增加1，保持相等。修正结束。
2. 当前结点的父亲是黑色的（不违背性质2，也不违背性质4）。这时已经是一棵合法的红黑树了，修正结束。
3. 演变为类别2或者类别3（不违背性质2，但违背性质4）。

3.2 类别2

新结点插入后，可能处于类别2；也可能由类别1演变为类别2。类别2有2-a和2-b两种，但它们是对称的，所以只研究一种即可，我们单看2-a。它可以通过下图所示的步骤修正为合法红黑树。

为什么说，经过上面的修正，红黑树就合法了呢？

1. 没有改变二叉查找树的性质（旋转操作不会改变这一性质）；
2. 由于新的子树的根（即图3中的结点4）为黑色，所以，不管x颜色如何，都不会出现连续的红色结点；
3. 被影响的各条路径上，黑色结点数目保持不变。见下表（被影响的子路径的黑结点数目不变，那么它所在的整条路径的黑结点数目也不会变）：

被影响的子路径	修正前（图1）黑色结点数	修正后（图3）黑色结点数
…->x->p->…	1	1
…->x->q->…	1	1
…->x->r->…	1	1
…->x->9->…	2	2

综上所述：对于类别2，经这一步，就可以变为合法红黑树。

3.3 类别3

新结点插入后，可能处于类别3；也可能由类别1演变为类别3。类别3有3-a和3-b两种，但它们是对称的，所以只研究一种即可，我们单看3-a。它可以通过下图所示的步骤，修正为类别2（然后由类别2修正为合法的红黑树）。

需要注意的是，由类别3修正为类别2的过程中：

1. 没有改变二叉查找树的性质（旋转操作不会改变这一性质）；
2. 被影响的路径上，黑色结点数目保持不变。见下表（被影响的子路径的黑结点数目不变，那么它所在的整条路径的黑结点数目也不会变）：

被影响的子路径	修正前（图1）黑色结点数	修正后（图2）黑色结点数
…->x->p->…	1	1
…->x->q->…	1	1
…->x->r->…	1	1
…->x->8->…	2	2

3.4 插入操作总结

可见，插入操作的修正过程：

• 若插入后处于类别1：最坏情况下，从插入位置（叶子）直到根，一直重复出现类别1，修正次数为树的高度。好一点的情况是，在到达根之前变为合法红黑树，或者演化为类别2或类别3；
• 若插入后处于类别2（或由1演化为类别2）：经过一次修正，变为合法红黑树；
• 若插入后处于类别3（或由1演化为类别3）：经一次修正演变为类别2，再由一次修正变为合法红黑树；

也就是说，最多改色次数为O(树的高度)；最多旋转次数是2。