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最新推荐文章于 2024-04-19 11:55:50 发布

fo0Old

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分类专栏：数论

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本文介绍了一种高效算法来确定表达式⌊n/i⌋对于0<i≤n的不同取值数量不超过2√n种的方法。通过枚举并利用数学不等式，实现了O(√n)的时间复杂度。

$\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\quad(0\lt i\le n)$ 的不同取值不超过: $2\sqrt n$ 种

令: $\lfloor\frac{n}{i}\rfloor=x$

那么: $x\cdotp i\le n\le (x+1)\cdotp i-1$

得: $\lceil\frac{n+1}{x+1}\rceil\le i\le\lfloor\frac{n}{x}\rfloor$

pii cal(int n,int x)
{
    int l=(n+x+1)/(x+1),r=n/x;
    return mp(l,r);
}

枚举 $\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$ 的所有取值 $\quad$ 复杂度: $O(\sqrt n)$

for(int i=1;i<=n;i=n/(n/i)+1)
    //  n/i

$a\in[1,x]\quad b\in[1,y]\quad gcd(a,b)=1$ 的个数

ll coprime(int x,int y)
{
    ll res=0;int z=min(x,y);
    for(int d=1;d<=z;)
    {
        int r=min(min(x/(x/d),y/(y/d)),z);
        res+=1ll*(sum[r]-sum[d-1])*(x/d)*(y/d);
        d=r+1;
    }
    return res;
}