集训心得1（数论部分）

最新推荐文章于 2021-04-14 18:15:56 发布

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集训过半了，信息量太大了。。。

快速幂

两种方法

递归实现

Intpow(int a,int b)
{ 
    If(b==0) return 1;     //边界
    Int tmp;
    tmp=pow(a,b/2);
    tmp=(tmp*tmp);
    if(b%2==1)    //b是奇数
    tmp=tmp*a;
    return tmp;
}

2) 位运算（更简洁）

 Int pow(int a,int b)
 {
     Int r=1,base=a；
     While(b)
     {
         if(b&1)   r*base;
         Base*=base;
         b>>=1;
     } 
     Return r;
 }

素数

1）素数的判定

list[]={2,3,5,7,11,…};//素数表
boolisprime(int x)
{   
    int i=1;
    While(list[i]*list[i]<=x)
    {

        If(x%list[i]==0)
        return false;
        i++;
    }
       return true;
}

2) 欧拉筛法（求x范围内的质数）

void getprime(int x)
{    
    memset(isprime,true,sizeof(isprime));
    for(inti=2;i<=x;i++)
    if(isprime[i])
        for(int j=i<<1;j<=x;j+=i)  isprime[j]=false;

    for(inti=2;i<=x;i++)
       if(isprime[i])
           prime[++size]=i;//加入素数表
}

gcd,最大公因数

1) 欧几里得算法

int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0) return a;
    Return gcd(b,a%b);
}

2) 二进制最大公约数算法（更快）

具体思想：

若a、b都是偶数，则gcd(a,b)=2*gcd(a/2,b/2)

若a是奇数、b是偶数，则gcd(a,b)=gcd(a/2,b/2)

若a、b都是奇数，则gcd(a,b)=gcd((a-b)/2,b)

int gcd(inta,int b)
{
    int c=1;
    while(a-b)      //ab不等
    {
        if(a&1)
        {
            if(b&1)   //a奇b奇
            {
                if(a>b)a=(a-b)>>1;
                else b=(b-a)>>1;
            }
            else     //a奇b偶
                b>>=1;
         }
         else
         {
            if(b&1)     //a偶b奇
                a>>=1;
            else         //a偶b偶
                c<<=1,a>>=1,b>>=1;
         }
    }
    return c*a;
}

约数

1）约数个数

int nums(int a)
{
    int k=2,res=1,p;
    while(k*k<=a)
    {
        p=1;
        while(n%k==0)  {a/=k;p++}
        res*=p;
        k++;
    }
    if(a>1)  res*=2;
    return res;
}

2)求约数和

int nums(int a)
{
    int k=2,n=a,sum=0;
    while(k*k<=n)
    {
        while(a%k==0)  {a/=k;sum=sum+k+n/k;}
        k++;
    }
    return sum;
}

互质同余（一堆性质） //提高篇P175

威尔逊定理与费马小定理

1）威尔逊定理

(p-1)! ≡ p-1 ≡ -1(mod p)

2）费马小定理

a^(p-1)≡a^0≡1(mod p)

a^x≡a^(x%(p-1))(mod p)

欧拉函数（可怕）

定义：欧拉函数是小于等于n的数中与n互质的数的个数，用φ(n) 表示欧拉函数值

若a,m为正整数，且gcd(a,m) = 1，则a^φ(m)≡1(modm)

我们亦可以利用欧拉定理来简化幂模运算：a^x≡a^(x%φ(m))(mod m)

我们将a^x≡a^(x%φ(m))(mod m)变下形：

由于a^φ(m)≡1(modm)，a^x≡a^(x%φ(m))≡a^(x%φ(m)+φ(m))(modm)