算法笔记---最短路路径之Floyd(弗洛伊德)算法

最新推荐文章于 2024-06-17 13:30:52 发布

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本文详细介绍Floyd算法原理及其应用，该算法能有效解决任意两点间的最短路径问题，尤其适用于有向图或含有负权边的情况。文章通过具体实例演示了算法的实现步骤，并提供了完整的代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

最短路路径之Floyd(弗洛伊德)算法

Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题。

Floyd-Warshall算法的时间复杂度为 $O (N 3)$ ，空间复杂度为 $O (N 2)$ 。

[编辑]原理

Floyd-Warshall算法的原理是动态规划。

设 $D i, j, k$ 为从 $i$ 到 $j$ 的只以 $(1.. k)$ 集合中的节点为中间节点的最短路径的长度。

若最短路径经过点k，则 $D i, j, k = D i, k, k - 1 + D k, j, k - 1$ ；
若最短路径不经过点k，则 $D i, j, k = D i, j, k - 1$ 。

因此， $D i, j, k = min(D i, k, k - 1 + D k, j, k - 1, D i, j, k - 1)$ 。

在实际算法中，为了节约空间，可以直接在原来空间上进行迭代，这样空间可降至二维。（见下面的算法描述）

此算法最重要的一点就是k视为中间变量：

if(map[i][k]!=inf && map[k][j]!=inf && map[i][j]>map[i][k]+map[k][j])
map[i][j]=map[i][k]+map[k][j];//算法实现的关键所在

下面依然以HDU-OJ-1874为例子讲解此题。

题目的意思不在赘述。

代码实现过程如下：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#define inf 9999999
#define N 205
using namespace std;

int map[N][N];
int n,m,s,e;

void Flord()
{
    int i,j,k;
    for(k=0; k<n; k++)
        for(i=0; i<n; i++)
            for(j=0; j<n; j++)
                if(map[i][k]!=inf && map[k][j]!=inf && map[i][j]>map[i][k]+map[k][j])
                    map[i][j]=map[i][k]+map[k][j];//算法实现的关键所在
    if(map[s][e]!=inf)
        printf("%d\n",map[s][e]);
    else
        printf("-1\n");
}
int main()
{
    int i,j;
    int x,y,z;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        for(i=0;i<n;i++)
        {
            for(j=0;j<n;j++)
            {
                map[i][j]=inf;
            }
            map[i][i]=0;
        }
        for(i=0; i<m; i++)
        {
            scanf("%d %d %d",&x,&y,&z);
            if(map[x][y]>z)
                map[x][y]=map[y][x]=z;
        }
        scanf("%d %d",&s,&e);
        Flord();
    }
    return 0;
}