反正切函数的应用

最新推荐文章于 2022-05-09 21:54:46 发布

flyljg

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分类专栏：数据结构文章标签： I love ACM 解决方案

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本文介绍了一种使用反正切函数高效计算π值的方法，通过构造特定的数学关系找到加速收敛的技巧，并提供了一个计算实例及代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

反正切函数可展开成无穷级数，有如下公式

(其中0 <= x <= 1) 公式(1)

使用反正切函数计算PI是一种常用的方法。例如，最简单的计算PI的方法：

PI=4arctan(1)=4(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...) 公式(2)

然而，这种方法的效率很低，但我们可以根据角度和的正切函数公式：

tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)]/[1-tan(a)*tan(b)] 公式(3)

通过简单的变换得到：

arctan(p)+arctan(q)=arctan[(p+q)/(1-pq)] 公式(4)

利用这个公式，令p=1/2,q=1/3，则(p+q)/(1-pq)=1，有

arctan(1/2)+arctan(1/3)=arctan[(1/2+1/3)/(1-1/2*1/3)]=arctan(1)

使用1/2和1/3的反正切来计算arctan(1)，速度就快多了。
我们将公式(4)写成如下形式

arctan(1/a)=arctan(1/b)+arctan(1/c)

其中a,b和c均为正整数。

我们的问题是：对于每一个给定的a（1 <= a <= 60000），求b＋c的值。我们保证对于任意的a都存在整数解。如果有多个解，要求你给出b+c最小的解。

Input

输入文件中只有一个正整数a，其中 1 <= a <= 60000。

Output

输出文件中只有一个整数，为 b+c 的值。

Sample Input

Sample Output

假设b=a+m

c=a+n;

移项m=b-1;

1/a=(b+c)/(b*c-1);

1/a=(a+m+a+n)/(a+m)(a+n)-1;

mn=a*a+1

arctan(1/a)=arctan(1/b)+arctan(1/c)

=arctan[(1/b)+(1/c)/(1-(1/b*1/c))]=arctan((b+c)/(bc-1));

b+c=2*a+m+n

for(m=a;m>=1;m--)

{

if((a*a+1)%m==0)

break；

}

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
using namespace std;
int main()
{
    long long a,b,c,n,m;
    while(scanf("%lld",&a)!=EOF)
    {
        n=0,m=0;
        for (m=a;m>=1;m--)
        {
           if ((a*a+1)%m==0)
             break;
        }
        n=(a*a+1)/m;
        m=m+a;
        n=n+a;
        printf("%lld\n",m+n);

    }
    return 0;
}