第14章 概率图模型-隐马尔可夫模型

14.1 隐马尔可夫模型

机器学习最重要的任务：

根据一些已经观察到的证据（例如训练样本）来对感兴趣的未知变量（例如类别标记）进行估计和推测。

具体来说，假定所关心的变量集合为$Y$，可观测变量集合为$O$，其它变量的集合为$R$，“生成式”模型考虑联合分布$P(Y,R,O)$，“判别式”模型考虑条件分布$P(Y,R|O)$。给定一组变量值，推断就是要由$P(Y,R,O)$或$P(Y,R|O)$得到条件概率分布$P(Y|O)$。

直接利用概率求和规则消去变量$R$显然不可行，因为即便每个变量仅有两种取指的简单问题，其复杂度已至少是$O(2^{|Y|+|B|})$。另一方面，属性变量之间往往存在复杂的联系，因此概率模型的学习，即基于训练样本来估计变量分布的参数往往相当困难。为了便于研究高效的推断和学习算法，需要有一套简洁紧凑地表达变量关系的工具。

名词解释

概率模型（Probabilistic Model）：提供了一种描述框架，将学习任务归结于计算变量的概率分布。
推断：在概率模型中，利用已知变量来推测未知变量的分布称为推断。
概率图模型（Probabilistic Graphical Model）：是一类用图来表达变量相关关系的概率模型
隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model，简称HMM）：是结构最简单的动态贝叶斯网络（Dynamic Bayesian Network），这是一种著名的有向图模型，主要用于时序数据建模，在语音识别、自然语言处理等领域有广泛应用。

图1 隐马尔可夫模型的图结构

如图所示，隐马尔可夫模型中的变量可以分为两组，第一组是状态 变量$\{y_1,y_2,...,y_n\}$，其中$y_i\in \mathcal Y$表示第$i$时刻的系统状态。通常假定状态变量是隐藏的、不可被观测的，因此状态变量亦称隐变量（hidden variable）。第二组是观测变量$\{x_1,x_2,...,x_n\}$，其中$x\in \mathcal X$表示第$i$时刻的观测值。在隐马尔可夫模型中，系统通常在多个状态$\{s_1,s_2,...,s_n\}$之间转换，因此状态变量$y_i$的取值范围$\mathcal Y$（称为状态空间）通常是有$n$个可能取值的离散空间。观测变量$x_i$可以是离散型也可以是连续型，为了便于讨论，我们仅考虑离散型观测变量，并假定其取指范围$\mathcal X$为$\{o_1,o_2,...,o_m\}$。
图1中的箭头表示了变量间的依赖关系。在任一时刻，观测变量的取值仅依赖于状态变量，即$x_t$由$y_t$确定，与其他状态变量及观测变量的取值无关。同时，$t$ 时刻的状态$y_t$仅依赖于$t-1$时刻的状态$y_{t-1}$，与其余$n-2$个状态无关。这就是所谓的“马尔可夫链（Markov chain）”，即：系统下一个时刻的状态仅由当前状态决定，不依赖于以往的任何状态。基于这种依赖关系，所有变量的联合概率分布为

$$P(x_1,y_1,...,x_n,y_n)=P(y_1)P(x_1|y_1)\mathop{\LARGE\mathrm \prod}_{i=2}^\infty P(y_i|y_{i-1})P(x_i|y_i)···（1）$$

除了结构信息，欲确定一个隐马尔可夫模型还需要以下三组参数：
（1）状态转移概率： 模型在各个状态间转换的概率，通常记为矩阵$A=[a_{ij}]_{N\times N}$，其中

$$a_{ij}=P(y_{t+1}=s_j|y_t=s_i),1\le i,j\le N,$$
表示在任意时刻$t$，若状态为$s_i$，则在下一时刻状态为$s_j$的概率。
（2）输出观测概率： 模型根据当前状态获得各个观测值的概率，通常记为矩阵$B=[b_{ij}]_{N\times M}$，其中
$$b_{ij}=P(x_t=o_j|y_t=s_i),1\le i \le N,1\le j \le M$$
表示在任意时刻$t$，若状态为$s_i$，则在下一刻状态为$s_j$的概率。
（3）初始状态概率： 模型在初始时刻各状态出现的概率，通常记为$\pi=(\pi_1,\pi_2,...,\pi_n)$，其中
$$pi_i=P(y_1=s_i),1\le i \le N$$
表示模型的初始状态为$s_i$的概率。
观测序列的产生过程：

通过指定状态空间$\mathcal Y$、观测空间$\mathcal X$和上述三个参数，就能确定一个隐马尔可夫模型，通过用其参数$\lambda =[A,B,pi]$来指代。给定隐马尔可夫模型$\lambda$，它按如下过程产生观测序列$\{x_1,x_2,...,x_n\}$：
（1）设置$t=1$，并根据初始状态概率$pi$选择初始状态$y_1$;
（2）根据状态$y_t$和输出观测概率$B$选择观测变量取值$x_t$；
（3）根据状态$y_t$和状态转移矩阵$A$转移模型状态，即确定$y_{t+1}$；
（4）若$t<n$，设置$t=t+1$，并转到第（2）步，否则停止。
其中$y_t\in \{s_1,s_2,...,s_n\}$和$x_t\in \{o_1,o_2,...,o_m\}$分别为第$t$时刻的状态和观测值。

在实际应用中，人们常关注隐马尔可夫模型的三个基本问题：

（1）给定模型$\lambda =[A,B,\pi]$，如何有效计算其产生观测序列$x=\{x_1,x_2,...,x_n\}$的概率$P(x|\lambda )$？换言之，如何评价模型与观测序列之间的匹配程度？
（2）给定模型$\lambda =[A,B,\pi ]$和观测序列$x=\{x_1,x_2,...,x_n\}$，如何找到与此观测序列最匹配的状态序列$y=\{y_1,y_2,...,y_n\}$？换言之，如何根据观测序列推断出隐藏的模型状态？
（3）给定观测序列$x=\{x_1,x_2,...,x_n\}$，如何调整模型参数$\lambda =[A,B,\pi ]$使得该序列出现的概率$P(x|\lambda )$最大？换言之，如何训练模型使其能最好地描述观测数据？

上述问题在现实应用中非常重要。例如许多任务需要根据以往的观测序列$\{x_1,x_2,...,x_n\}$来推测当前时刻最有可能的观测值$x_n$，这显然可转化为求取概率$P(x|\lambda )$，即上述第一个问题；在语音识别等任务中，观测值为语音信号，隐藏状态为文字，目标就是根据观测信号来推断最有可能的状态序列（即对应的文字），即上述第二个问题；在大多数现实应用中，人工指定模型参数已变得越来越不可行，如何根据训练样本学得最优的模型参数，恰是上述第三个问题。值得庆幸的是，基于式（1）的条件独立性，隐马尔可夫模型的这三个问题均能被高效求解。