红黑树的基本概念

        红黑树是一种自平衡二叉查找树，是在计算机科学中用到的一种数据结构，典型的用途是实现关联数组。它是在1972年由鲁道夫·贝尔发明的，他称之为"对称二叉B树"，它现代的名字是在 Leo J. Guibas 和 Robert Sedgewick 于1978年写的一篇论文中获得的。它是复杂的，但它的操作有着良好的最坏情况运行时间，并且在实践中是高效的: 它可以在O(log n)时间内做查找，插入和删除，这里的n是树中元素的数目。

一个具体的红黑树的图例：

        

        红黑树和AVL树一样都对插入时间、删除时间和查找时间提供了最好可能的最坏情况担保。这不只是使它们在时间敏感的应用如实时应用（real time application）中有价值，而且使它们有在提供最坏情况担保的其他数据结构中作为建造板块的价值；例如，在计算几何中使用的很多数据结构都可以基于红黑树。

        红黑树在函数式编程中也特别有用，在这里它们是最常用的持久数据结构之一，它们用来构造关联数组和集合，在突变之后它们能保持为以前的版本。除了O(log n)的时间之外，红黑树的持久版本对每次插入或删除需要O(log n)的空间。

        红黑树是 2-3-4树的一种等同。换句话说，对于每个 2-3-4 树，都存在至少一个数据元素是同样次序的红黑树。在 2-3-4 树上的插入和删除操作也等同于在红黑树中颜色翻转和旋转。这使得 2-3-4 树成为理解红黑树背后的逻辑的重要工具，这也是很多介绍算法的教科书在红黑树之前介绍 2-3-4 树的原因，尽管 2-3-4 树在实践中不经常使用。

性质：

性质1. 节点是红色或黑色。

性质2. 根是黑色。

性质3. 所有叶子都是黑色（叶子是NIL节点）。

性质4. 每个红色节点必须有两个黑色的子节点。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点。)

性质5. 从任一节点到其每个叶子的所有简单路径都包含相同数目的黑色节点。

        那么来看看这5个性质吧：性质1，结点的颜色域代表其父结点指向该节点的指针的颜色，如果为黑色，那么这两个结点在对应的2-3-4树中应该是父子结点的关系，如果为红色，那么这两个结点在对应的2-3-4树中应该在同一个结点中。这样每个结点有两个颜色就很容易理解了。性质2，根是黑色，因为其没有父结点，令为黑色可以理解，令为红色的话就有些矛盾了。性质3，所有叶子都是黑色，对应2-3-4树中的所有叶结点在同一层上，所有叶子结点的儿子结点都是空的。性质4，每个红色结点都必须有两个黑色的子结点，红色结点对应其在2-3-4树中位于某个3结点或者4结点，那么红色结点在红黑书中有两个黑色的子结点就很容易理解了，如果有两个连续的红色结点，那么对应在2-3-4树中这俩结点和其最近的父结点应该在一个4结点中，可是这不符合结点的拆分方式，因为结点都是由4结点的中值元素作为新的树根的。性质5，一个黑色结点可以对应到2-3-4树中的一层，而2-3-4树中所有的叶结点位于同一层，那么即路径上单纯算黑结点的深度应该是一样的。

        

为了后面的分析，我们还得知道以下知识点。

    （1）黑高度：从某个结点x出发（不包括该结点）到达一个叶结点的任意一条路径上，黑色结点的个数称为该结点x的黑高度。

    （2）一颗有n个内结点的红黑树的高度至多为2lg(n+1)。   （内结点视为红黑树中带关键字的结点）

    （3）包含n个内部节点的红黑树的高度是 O(log(n))。

证明（来自维基百科）：

定义:

• h(v) = 以节点v为根的子树的高度。
• bh(v) = 从v到子树中任何叶子的黑色节点的数目(如果v是黑色则不计数它)(也叫做黑色高度)。

引理: 以节点v为根的子树有至少2bh(v) − 1个内部节点。

引理的证明(通过归纳高度):

基础: h(v) = 0

如果v的高度是零则它必定是 nil，因此 bh(v) = 0。所以:

                       2bh(v) − 1 = 20 − 1 = 1 − 1 = 0

归纳假设: h(v) = k 的v有 2bh(v) − 1 − 1 个内部节点暗示了 h(v') = k+1 的v'有2bh(v') − 1 个内部节点。

因为 v' 有 h(v') > 0 所以它是个内部节点。同样的它有黑色高度要么是 bh(v') 要么是 bh(v')-1 (依据v'是红色还是黑色)的两个儿子。通过归纳假设每个儿子都有至少2bh(v') − 1 − 1 个内部接点，所以v' 有:

                      2bh(v') − 1 − 1 + 2bh(v') − 1 − 1 + 1 = 2bh(v') − 1

个内部节点。

使用这个引理我们现在可以展示出树的高度是对数性的。因为在从根到叶子的任何路径上至少有一半的节点是黑色(根据红黑树属性4)，根的黑色高度至少是h(root)/2。通过引理我们得到:

因此根的高度是O(log(n))。

REF：

1，http://zh.wikipedia.org/wiki/红黑树

2，http://blog.youkuaiyun.com/wdzxl198/article/details/6882416