dp总结

dp四要素

1. 状态（存储小规模问题的结果）
2. 方程（状态之间的联系，怎么通过小的状态，来算大的状态）
3. 初始化（最极限的小状态是什么）
4. 答案（最大的状态是什么）

LeetCode53:最大子序和

(动态规划) O(n)
设$f(i)$表示以第 i个数字为结尾的最大连续子序列的 和 是多少。
初始化$f(0)=nums[0]$。
转移方程 $f(i)=max(f(i-1)+nums[i],nums[i]))$。可以理解为当前有两种决策，一种是将第 i个数字和前边的数字拼接起来；另一种是第 i 个数字单独作为一个新的子序列的开始。
最终答案为 $ans=max(f(k)),0\le k<n$

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int res;
        int n = nums.size();
        vector<int> f(n);
        f[0] = nums[0]; // init
        res = f[0];
        for (int i = 1; i < n; i++){
            f[i] = max(f[i - 1] + nums[i], nums[i]);
            res = max(res, f[i]);
        }
        return res;    
    }
    
};

word break

Given an input string and a dictionary of words, segment the input string into a space=separated dequence of dictionary words if possible. For example, if the input string is "applepie" and dictionary contains a standard set of English words, then we would return the string "apple pie" as output.

bool wordBreak(string s, unordered_set<string> &dict) {
    int begin = 0, end = 0;
    string word; 
    bool words[s.size()+1] = {0};
    words[0] = true;

    for (int i = 1; i < s.size() + 1; i++) {
        words[i] = false;
        for (end = 0; end < s.size(); end++) {
            for(begin = 0; begin <= end; begin++)
                if (words[begin] && dict.find( s.substr(begin, end-begin+1) ) 
!= dict.end()) {
                    words[end + 1] = true;
                    break;
                }
         }
    }

    return words[s.size()];
}