【暖*墟】 #图论# 最小生成树

1、最小生成树的概念

实际问题：在n个城市中建立一个通信网络，则至少需要布置n-1条通信线路。

这个时候我们需要考虑如何在成本最低的情况下建立这个通信网？

于是我们就可以引入连通图来解决我们遇到的问题，n个城市就是图上的n个顶点，

边表示两个城市的通信线路，每条边上的权重就是我们搭建这条线路所需要的成本，

所以现在我们有n个顶点的连通网可以建立不同的n-1条边的生成树。

当我们构造这个连通网所花的成本最小时，此图就称为最小生成树。

最小生成树的重要性质：MST性质

• 假设N=(V,{E})是一个连通网，U是顶点集V的一个非空子集，
• 如果（u，v）是一条具有最小权值的边，其中u属于U，v属于V-U，
• 则必定存在一颗包含边（u，v）的最小生成树。

下面就介绍两种使用MST性质生成最小生成树的算法：普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。

 

2、普里姆算法—Prim算法

【一. 算法思路】

V为点的全集。首先从图中的一个（任意）起点a开始，把a加入U集合，

从与a有关联的边中寻找权重最小的那条边、并且该边的终点b在顶点集合（V-U）中，

我们也把b加入到集合U中，并且输出边（a，b）的信息，

这样我们的集合U就有：{ a , b }。

寻找与a或b关联的边中、权重最小的那条、并且该边的终点在集合（V-U）中。

我们把c加入到集合U中，并且输出对应的那条边的信息，

这样我们的集合U就有：{a,b,c}这三个元素了，一次类推，直到所有顶点都加入到了集合U。

对下面这幅图求其最小生成树：

从顶点v1开始，（v1,v3）边的权重最小，所以第一个输出的边就是：v1—v3=1。

然后，我们要从v1和v3作为起点的边中寻找权重最小的边，

首先了（v1,v3）已经访问过了，所以我们从其他边中寻找，

发现(v3,v6)这条边最小，所以输出边就是：v3—-v6=4。

然后，我们要从v1、v3、v6这三个点相关联的边中寻找一条权重最小的边，

我们可以发现边(v6,v4)权重最小，所以输出边就是：v6—-v4=2。

然后，我们就从v1、v3、v6、v4这四个顶点相关联的边中寻找权重最小的边，

发现边（v3，v2）的权重最小，所以输出边：v3—–v2=5。