20、平面 3 - 树绘制的通用线集

平面 3 - 树绘制的通用线集

1. 平面 3 - 树的基本性质与推论

对于深度为 ρ 的平面 3 - 树 G，它可以绘制在 ⌈(ρ + 2) / 2⌉ 个同心圆上，并且这种绘制可以在线性时间内完成。这为平面 3 - 树的绘制提供了一种有效的方法，利用同心圆的结构可以更好地展示平面 3 - 树的层次关系。

2. 寻找最小深度嵌入的算法

• 面代表树的定义 ：设 G 是具有 n 个顶点的平面 3 - 树，Γ 是 G 的平面嵌入。面代表树 Tf 是一个有序的根树，满足以下条件：
  • 树中的顶点要么是顶点节点（对应 Γ 的一个顶点），要么是面节点（对应 Γ 的一个面）。
  • 当 n = 3 时，Tf 是一个单一的面节点，对应 Γ 的外表面。当 n > 3 时：
    • 根是一个面节点，对应 Γ 的外表面，根只有一个子节点，即 Γ 的代表顶点 p。每个顶点节点恰好有三个子节点，除根之外的每个面节点都是 Tf 的叶子节点。
    • 当 n > 4 时，Tf 中 p 的三个逆时针排序的子节点 q1、q2 和 q3 所对应的子树分别是 Γ(C1)、Γ(C2) 和 Γ(C3) 的面代表树，其中 C1、C2 和 C3 是围绕 p 的三个逆时针顺序的嵌套三角形。
• 面代表树的特点 ：面代表树是一种无根的完全三元树，每个内部节点恰好有四个邻居。它有 2n - 4 个面节点和 n - 3 个顶点节点。删除面代表树中的