9、平面中的范围聚合最大点问题解析

平面中的范围聚合最大点问题解析

1. 预备知识

在解决相关问题之前，需要了解两个重要的基础概念。
- 秩查询（Rank Query） ：设 $S$ 是一个由 0 和 1 组成的二进制字符串。对于任意字符 $c \in {0, 1}$ 以及任意位置 $i$，秩查询 rankc(S, i) 会报告字符串 $S$ 中从位置 1 到位置 $i$ 字符 $c$ 的数量。已知可以使用 $n + o(n)$ 位的空间来表示一个长度为 $n$ 的二进制字符串 $S(1, n)$，并且支持在 $O(1)$ 时间内进行秩查询。
- 查找最低有效位为 1 的位置 ：设 $s$ 是一个非零的二进制字符串。可以通过求 $s$ 的补码 $s’$，然后执行 $s \land s’$ 操作来找到 $s$ 中最低有效位为 1 的位置。例如，若 $s = 011010$，其补码 $s’ = 100101 + 1 = 100110$，则 $s \land s’ = 000010$。可以使用一个存储 $log n$ 个 2 的幂值的查找表来实现这一操作。

2. 问题定义

本研究旨在解决以下两个问题：
- 问题 1 ：给定一个由 $n$ 个整数点组成的集合 $R$，这些点位于 $n \times n$ 的网格上。需要将这些点预处理成一个数据结构，使得对于给定的查询矩形 $q$，能够高效地报告 $q \cap R$ 中的最大点集。
- 问题 2 ：同样给定集合 $R$，将其预处理成一个数据结构，使得对于给定的查询