算法导论之NP完全性和近似算法

最新推荐文章于 2025-06-20 17:01:07 发布
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NP完全性和近似算法

在理解NP完全性之前，笔者想引入关于科学与伪科学的定义。凡可接受实践检验、可被证实和被否正的为科学，相反之为非科学，而伪科学是非科学之子集，与科学相对立，认定非科学为科学的即是伪科学。三者关系可简化为：科学相反于非科学、对立于非科学子集伪科学。集合的运算关系见下面，科学定义为S、非科学定义为NS、伪科学定义为FS。

算法是用来解决问题的，一个问题能否在多项式时间内完成是衡量问题复杂度和算法有效性的标准。多项式时间就是指时间复杂度是个多项式。对于解决问题的算法，在其输入规模为下，其最坏运行时间为，其中k为常数，则问题在多项式时间内可解。显然，现实中很多问题是暂时无法找到多项式时间内的算法来解决，于是，以是否存在多项式时间内的算法来界定问题复杂度，存在则可解，反之则无解。NP集中在多项式复杂度的非确定性问题的研究上，属于科学，可被证实和被否正。

再说明下判定问题和最优化问题。判定问题是指寻求有穷步骤内确定是否具有某一特定的性质的一种能行方法或程序或算法，该类问题的答案可用“是否”来回答；最优化问题是在满足一定的约束条件和特定参数值输入下取得最佳值的可行解。对最优化问题的值设定一个界，可转化为相关判定问题。

特定状态输入下，如输出唯一确定，则为确定性算法，如输出多项可选，则为非确定性算法。非确定性算法将问题分解成猜测和验证两

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NP完全性理论与近似算法
ZCC的专栏
01-02 1821
一.NP完全性理论 (1)在图灵机计算模型中，移动函数δ是单值的，即对于Q´Tk中的每一个值,当它属于δ的定义域时Q´(T´{L，R，S})k中只有唯一的值与之对应，称这种图灵机为确定性图灵机，简记为DTM(Deterministic Turing Machine)。  (2)非确定性图灵机（ NDTM ）：一个k带的非确定性图灵机M是一个7元组：(Q，T，I，δ
NP完全性理论（算法分析与设计）
脚踏实地，仰望星空
10-12 9264
1.P问题，NP问题，NPC问题的概念 此处转自：http://www.matrix67.com/blog/archives/105 a.时间复杂度 定义：时间复杂度并不是表示一个程序解决问题需要花费多少时间，而是当一个问题规模扩大以后，程序需要的时间长度增长得有多快 例子：冒泡排序、插入排序等，数据扩大2倍，时间变慢4倍的，属于O(n^2)的复杂度 b.多项式级
NP完全性理论&近似算法
12-04
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NP完全性理论详解与近似算法
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echo_123qq的博客
06-20 588
一个问题是 当且仅当：由于NP完全问题 ，我们通常采用 来寻找。
算法导论—近似算法
我们都是被分成两半的人，一边热爱生活，一边憎恨生活。面对生活，我们总是在矛盾的两端摇摆，在反复的矛盾和犹豫中，一边踉跄前行，一边重振旗鼓。我渴望改变，渴望变得更好，渴望找到出口……就像一个溺水人的挣扎，就像一个救生圈。我是一个矛盾集合体，想要变得快乐，但是
02-09 1747
近似算法的性能分析包括时间复杂度分析、空间复杂度分析和近似精度分析，其中时间（空间）复杂度的分析同精确复杂度相同。近似精度分析是近似算法特有的，它主要用于刻画近似算法给出的近似解相比于问题优化解的优劣程度。其中n是输入大小，C是A产生的解的代价，C*是优化解的代价。近似算法的性能比不会小于1，一个能求得精准最优解的算法性能比为1，一般情况下性能比大于1.近似算法的性能比越大，它求得的近似最优解越差。设A是一个优化问题的近似算法，A具有近似比（ratio bound） p(n), 如果。
算法导论随笔(十四)：NP完全性之P问题、NP问题、NPC问题和NP难问题
天降风云的博客
11-10 4374
这篇文章中我来简单谈谈NP完全性。不同于前面所有文章中的各个具体的问题和算法，NP完全性是一个很抽象的大概念，其包括但不仅限于标题中提到的P问题、NP问题、NPC问题和NP难问题。这里我简单谈谈我对书上的内容和一些例子的理解。 P问题 首先来谈谈P问题。算法导论随笔系列写到现在，已经介绍了很多问题及它们的算法。其中大部分的问题，都是P问题。那么什么是P问题呢？P问题指的是能在多项式时间内解决的问题。这里的P是Polynomial（即多项式）的缩写。初中数学告诉我们，一个多项式有如下的形式： 其中a0，a1
算法导论第三版 np完全性答案
07-17
总之，算法导论第三版给我们提供了一个深入理解NP完全性的基础，通过学习和理解这些内容，我们可以更好地认识到NP完全性的重要性和复杂性，并且可以应用到实际问题中去解决。 ### 回答2： 算法导论第三版中介绍了...
算法导论中文版
09-27
10. NP完全性：介绍NP完全问题的定义，探讨如何识别这类问题，并讲解近似算法和启发式算法等解决NP完全问题的方法。 11. 随机算法：讨论随机算法的概念及其在解决特定问题时的优势，例如快速排序中使用的随机化方法...
算法导论[第三版] 中文 完整书签 清晰版
02-21
通过深入学习NP完全性、近似算法等概念，读者将能够理解哪些问题是计算上难以解决的，从而在面对复杂问题时能够作出明智的判断和选择。 此外，本书对数据结构的介绍也为算法学习提供了必要的基础。从数组、链表到栈...
clrs_prev.rar_CLRS_算法导论 答案_算法导论答案
09-14
此外，书中的一些高级话题，如NP完全问题、近似算法和随机化算法，也是现代计算理论的重要组成部分，对于想要深入计算机科学领域的学生来说至关重要。 总的来说，这份《算法导论》的答案资源对于正在学习这门课程的...
算法导论-第34章-计算模型与NP完全性
优快云博客
06-30 364
非形式地说，算法是为实现某个任务而构造的简单指令集。这是一个非严格的算法定义。1900年，Hilbert在巴黎举行的世界数学家大会上提出了23个数学问题，其中第10个问题是要设计一个算法来测试多项式是否有整数根，他没有用算法这个术语，而用这样一句短语： “通过有限多次运算就可以决定的过程”。现在严格地讲，一个问题算法可解的等于该问题在图灵机上可解（可判断）。
np难问题近似算法(绝版好书)
12-22
这本书在国内已经绝版。目录如下 Introduction Dorit S. Hochbaum 0.1 What can approximation algorithms do for you: an illustrative example 0.2 Fundamentals and concepts 0.3 Objectives and organization of this book 0.4 Acknowledgments I Approximation Algorithms for Scheduling Leslie A. Hall 1.1 Introduction 1.2 Sequencing with Release Dates to Minimize Lateness 1.2.1 Jacksons rule 1.2.2 A simple 3/2-approximation algorithm 1.2.3 A polynomial approximation scheme 1.2.4 Precedence constraints and preprocessing 1.3 Identical parallel machines: beyond list scheduling 1.3.1 P|rj,prec|Lmax:: list scheduling revisited 1.3.2 The LPT rule for P‖Cmax 1.3.3 The LPT rule for P|rj|Cmax 1.3.4 Other results for identical parallel machines 1.4 Unrelated parallel machines 1.4.1 A 2-approximation algorithm based on linear programming 1.4.2 An approximation algorithm for minimizing cost and makespan 1.4.3 A related result from network scheduling 1.5 Shop scheduling 1.5.1 A greedy 2-approximation algorithm for open shops 1.5.2 An algorithm with an absolute error bound 1.5.3 A 2 E -approximation algorithm for fixed job and flow shops 1.5.4 The general job shop: unit-time operations 1.6 Lower bounds on approximation for makespan scheduling 1.6.1 Identical parallel machines and precedence constraints 1.6.2 Unrelated parallel machines 1.6.3 Shop scheduling 1.7 Min-sum Objectives 1.7.1 Sequencing with release dates to minimize sum of completion times 1.7.2 Sequencing with precedence constraints 1.7.3 Unrelated parallel machines 1.8 Final remarks 2 Approximation Algorithms for Bin Packing: A Survey E. G. Coffman, Jr., M. R. Garey, and D. S. Johnson 2.1 Introduction 2.2 Worst-case analysis 2.2.1 Next fit 2.2.2 First fit 2.2.3 Best fit, worst fit, and almost any fit algorithms 2.2.4 Bounded-space online algorithms 2.2.5 Arbitrary online algorithms 2.2.6 Semi-online algorithms 2.2.7 First fit decreasing and best fit decreasing 2.2.8 Other simple offline algorithms 2.2.9 Special-case optimality, approximation schemes, and asymptotically optimal algorithms 2.2.10 Other worst-case questions 2.3 Average-case analysis 2.3.1 Bounded-space online algorithms 2.3.2 Arbitrary online algorithms 2.3.3 Offiine algorithms 2.3.4 Other average-case questions 2.4 Conclusion Approximating Covering and Packing Problems: Set Cover, Vertex Cover, Independent Set, and Related Problems Dorit S. Hachbaum 3.1 Introduction 3.1.1 Definitions, formulations and applications 3.1.2 Lower bounds on approximations 3.1.3 Overview of chapter 3.2 The greedy algorithm for the set cover problem 3.3 The LP-algorithm for set cover 3.4 The feasible dual approach 3.5 Using other relaxations to derive dual feasible solutions 3.6 Approximating the multicoverproblem 3.7 The optimal dual approach for the vertex cover and independent set problems: preprocessing 3.7.1 The complexity of the LP-relaxation of vertex cover and independent set 3.7.2 Easily colorable graphs 3.7.3 A greedy algorithm for independent set in unweighted graphs 3.7.4 A local-ratio theorem and subgraph removal 3.7.5 Additional algorithms without preprocessing 3.7.6 Summary of approximations for vertex cover and independent set 3.8 Integer programming with two variables per inequality 3.8.1 The half integrality and the linear programming relaxation 3.8.2 Computing all approximate solution 3.8.3 The equivalence of IP2 to 2-SAT and 2-SAT to vertex cover 3.8.4 Properties of binary integer programs 3.8.5 Dual feasible solutions for IP2 3.9 The maximum coverage problem and the greedy 3.9.1 Tile greedy approach 3.9.2 Applications of the maxinmum coverage problem 4 The Primal-Dual Methud for Approximation Algorithms and Its Applicatiun to Network Design Problems Michel X. Goemans and David P. Williamson 4.1 Introduction 4.2 The classical primal-dual method 4.3 Thc primal-dual method Im approximation algorithms 4.4 A model of network design problems 4.4.1 0-I functions 4.5 Downwards monotone functions 4.5.1 The edge-covering problem 4.5.2 Lower capacitated partitioning problems 4.5.3 Location-design and location-routing problems 4.5.4 Proof of Theorems 4.5 and 4.6 4.6 0-1 proper functions 4.6.1 The generalized Sterner tree problem 4.6.2 The T-join problem 4.6.3 The minimum-weight perfect matching problem 4.6.4 Point-to-point connection problems 4.6.5 Exact partitioning problems 4.7 General proper functions 4.8 Extensions 4.8.1 Mininmm multicut in trees 4.8.2 The prize-collecting problems 4.8.3 Vertex connectivity problems 4.9 Conclusions 5 Cut Problems and Their Application to Divide-and-Conquer David B. Shmoys 5.1 Introduction 5.2 Minimum multicuts and maximum multicommodity flow 5.2.1 Multicuts, maximum multicommodity flow, and a weak duality theorem 5.2.2 Fractional multicuts, pipe systems, and a strong duality theorem 5.2.3 Solving the linear programs 5.2.4 Finding a good multicut 5.3 Sparsest cuts and maximum concurrent flow 5.3.1 The sparsest cut problem 5.3.2 Reducing the sparsest cut problem to the minimum multicut problem 5.3.3 Embeddings and the sparsest cut problem 5.3.4 Finding a good embedding 5.3.5 The maximum concurrent flow problem 5.4 Minimum feedback arc sets and related problems 5.4.1 An LP-based approximation algorithm 5.4.2 Analyzing the algorithm Feedback 5.4.3 Finding a good partition 5.5 Finding balanced cuts and other applications 5.5.1 Finding balanced cuts 5.5.2 Applications of balanced cut theorems 5.6 Conclusions Approximation Algorithms for Finding Highly Connected Suhgraphs Samir KhulJer 6.1 Introduction 6.1.1 Outline of chapter and techniques 6.2 Edge-connectivity problems 6.2.1 Weighted edge-connectivity 6.2.2 Unweighted edge-connectivity 6.3 Vertex-connectivity problems 6.3.1 Weighted vertex-connectivity 6.3.2 Unweighted vertex-connectivity 6.4 Strong-connectivity problems 6.4.1 Polynomial time approximation algorithms 6.4.2 Nearly linear-time implementation 6.5 Connectivity augmentation 6.5.1 increasing edge connectivity from I to 2 6.5.2 Increasing vertex connectivity from I to 2 6.5.3 Increasing edge-connectivity to 3. Algorithms for Finding Low Degree Structures Balaji Raghavachari 7.1 Introduction 7.2 Toughness and degree 7.3 Matchings and MDST 7.4 MDST within one of optimal 7.4.1 Witness sets 7.4.2 The △* 1 algorithm 7.4.3 Performance analysis 7.5 Local search techniques 7.5.1 MDST problem 7.5.2 Constrained forest problems 7.5.3 Two-connected subgraphs 7.6 Problems with edge weights - points in Euclidean spaces 7.7 Open problems 8 Approximation Algorithms for Geometric Problems Marshall Bern and David Eppstein 8.1 Introduction 8.1.1 Overview of topics 8.1.2 Special nature of geometric problems 8.2 Traveling salesman problem 8.2.1 Christofides algorithm 8.2.2 Heuristics 8.2.3 TSP with neighborhoods 8.3 Steiner tree problem 8.3.1 Steiner ratios 8.3.2 Better approximations 8.4 Minimum weight triangulation 8.4.1 Triangulation without Steiner points 8.4.2 Steiner triangulation 8.5 Clustering 8.5.1 Minmax k-clustering 8.5.2 k-minimum spanning tree 8.6 Separation problems 8.6.1 Polygon separation 8.6.2 Polyhedron separation 8.6.3 Point set separation 8.7 Odds and ends 8.7.1 Covering orthogonal polygons by rectangles 8.7.2 Packing squares with fixed comers 8.7.3 Largest congruent subsets 8.7.4 Polygon bisection 8.7.5 Graph embedding 8.7.6 Low-degree spanning trees 8.7.7 Shortest paths in space 8.7.8 Longest subgraph problems 8.8 Conclusions 9 Various Notions of Approximations: Good, Better, Best, and More Dorit S. Hochbaum 9.1 Introduction 9.1.1 Overview of chapter 9.2 Good: fixed constant approximations 9.2.1 The weighted undirected vertex feedback set problem 9.2.2 The shortest superstring problem 9.2.3 How maximization versus minimization affects approximations 9.3 Better: approximation schemes 9.3.1 A fully polynomial approximation scheme for the knapsack problem 9.3.2 The minimum makespan and the technique of dual approximations 9.3.3 Geometric packing and covering--the shifting technique 9.4 Best: unless NP = P 9.4.1 The k-center problem 9.4.2 A powerful approximation technique for bottleneck problems 9.4.3 Best possible parallel approximation algorithms 9.5 Better than best 9.5.1 A FPAS for bin packing 9.5.2 A 9/8-approximation algorithm for ~dge coloring of multigraphs and beyond 9.6 Wonderful: within one unit of optimum 10 Hardness of Approximations San jeer Arora and Carsten Lund 10.1 Introduction 10.2 How to prove inapproximability results 10.2.1 The canonical problems 10.2.2 Inapproximability results for the canonical problems 10.2.3 Gap preserving reductions 10.3 Inapproximability results for problems in class I 10.3.1 Max-SNP 10.4 Inapproximability results for problems in class II 10.4.1 SETCOVER 10.5 Inapproximability results lor problems in class 111 10.5.1 LABELCOVER maximization version ,. 10.5.2 LABELCOVER mtn version 10.5.3 Nearest lattice vector problem 10.6 Inapproximability results for problems in class IV 10.6.1 CLIQUE 10.6.2 COLORING 10.7 Inapproximability results at a glance 10.7.1 How to prove other hardness results: a case study 10.8 prohabilistically checkable proofs and inapproximability 10.8.1 The PCP theorem 10.8.2 Connection to inapproximability of MAX-3SAT 10.8.3 Where the gap comes from 10.9 Open problems 10.10 Chapter notes 11 Randomized Approximation Algorithms in Combinatorial Optimization Rajeev Motwani, Joseph Seffi Naor, and Prabhakar Raghavan 11.1 Introduction 11.2 Rounding linear programs 11.2.1 The integer multicommodity flow problem 11.2.2 Covering and packing problems 11.2.3 The maximum satisfiability problem 11.2.4 Related work 11.3 Semidefinite programming 11.3.1 The maximum cut problem 11.3.2 The graph coloring problem 11.4 Concluding remarks 11.4.1 Derandomizafion and parallelization 11.4.2 Computational experience 11.4.3 Open problems 12 The Markov Chain Monte Carlo Method: An Approach to Approximate Counting and Integration Mark Jerrum and Alistair Sinclair 12.1 Introduction 12.2 An illustrative example 12.3 Two techniques for bounding the mixing time 12.3.1 Canonical paths 12.3.2 Conductance 12.4 A more complex example: monomer-dimer systems 12.5 More applications 12.5.1 The permanent 12.5.2 Volume of convex bodies 12.5.3 Statistical physics 12.5.4 Matroid bases: an open problem 12.6 The Metropolis algorithm and simulated annealing Appendix 13 Online Computation Sandy Irani and Anna R. Karlin 13.1 Introduction 13.2 Three examples of competitive analysis 13.2.1 Paging 13.2.2 The k-server problem 13.2.3 Metrical task systems 13.3 Theoretical underpinnings: deterministic algorithms 13.3.1 Lower bounds 13.3.2 Design principles 13.3.3 Bounding competitiveness 13.4 Theoretical underpinnings: randomized algorithms 13.4.1 Example: paging 13.4.2 Lower bounds 13.4.3 The relationships between the adversaries 13.5 The k-server problem revisited 13.5.1 History. 13.5.2 Notation and properties of work functions. 13.5.3 The work function algorithm WFA 13.5.4 Proof of 2k - 1 -competitiveness 13.5.5 The duality lemma 13.5.6 The potential function 13.5.7 Quasi-convexity and the duality lemma 13.6 Online load balancing and virtual circuit routing 13.6.1 Load balancing on unrelated machines 13.6.2 Online virtual circuit routing 13.6.3 Recent results 13.7 Variants of competitive analysis 13.8 Conclusions and directions for future research Glossary of Problems Index
近似算法的讲义Lecture Notes on Approximation Algorithms
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从近似性的角度来看，尝试将所有困难的优化问题归类为放宽要求的一种可能性：容易，中间和困难。
笔记：《算法图解》第八章：NP完全问题、近似算法之贪婪算法
余欲与鱼语渔
05-10 2095
1.NP完全问题（Non-deterministic Polynomial Complete） NP完全问题（多项式复杂程度的非确定性问题）的简单定义是，以难解著称，没有快速算法的问题，如旅行商问题和集合覆盖问题。 要判断问题是不是NP完全问题很难，易于解决的问题和NP完全问题的差别通常很小。 为避免浪费时间去寻找解决它们的快速算法，如何识别NP完全问题： ❑ 元素较少时算法的运行速度非常快，但随...
[近似算法] NP-hard 问题求解
fa1c4的blog
06-16 4508
若某NPH问题q有多项式时间算法，则任一NP问题皆可多项式时间归约到q，故任一NP问题也是多项式时间可解的，由此可得NP=P. 传统时间复杂度中n表示数据输入的规模，如排序中n表示被排序的数据元素个数。但这不够严谨，其标准化的定义应该是：一个问题的输入规模是保存输入数据所需要的位数（bit），在此基础上定义的时间复杂度是标准的时间复杂度。 若一个算法的传统时间复杂度是多项式时间而其标准的时间复杂度不是多项式时间的，则该算法是伪多项式时间的。（例如朴素的素数判定算法）, 一个具有伪多项式时间复杂度的NPC问题
Approximation Algorithm1(近似算法(一))(Introduction to Algorithms, 算法导论，CLRS)学习笔记
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10-16 1931
Approximation Algorithm 1. Approximation ratio Cost: the size of the solution, for example, in vertex cover, it’s the size of the cover; in TSP, it’s the total distance. Since the approximation algorithm, the cost we have is always greater than the optima
关于P、NP问题和算法的一点联系
miss_snow_m的专栏
02-10 1188
这篇博客主要是解释一下我们平时在算法上用到的复杂度和NP还有P的联系，以及为什么第一反应是P的限制整数分解问题竟然“神奇的”是NP问题，以及由此展开的对其它问题的一些分析。基本概念知乎上对P和NP有非常详尽的解释，从图灵机展开的很多概念，我就不在此复制粘帖了。只需要有一个大的概念：问题主要分为NP和NP-hard；对于NP问题，有一部分问题是P的，有一部分是不确定P还是NP-Complete，最后一
旅行商问题近似解——NP完全问题
秋名山码民的技术小屋
02-20 2185
旅行商问题 我们对于旅行商问题应该都不陌生， 我们从城市数较少的情况着手。假设只涉及两个城市，因此可供选择的路线有两条， 这两条路线相同还是不同 你可能认为这两条路线相同，难道从旧金山到马林的距离与从马林到旧金山的距离不同 吗？不一定。有些城市（如旧金山）有很多单行线，因此你无法按原路返回。你可能需要离开 原路行驶一两英里才能找到上高速的匝道。因此，这两条路线不一定相同 你可能心存疑惑：在旅行商问题中，必须从特定的城市出发吗？例如，假设我是旅行商。我 居住在旧金山，需要前往其他4个城市，因此我将从旧
算法设计与分析之近似算法
qq_44075108的博客
12-05 8279
目前大规模的NPC问题我们无法通过计算得到，因此我们需要通过损失一部分精度的做法来找到多项式的近似算法。
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