25、量子信号处理与图像处理相关研究解析

量子信号处理与图像处理相关研究解析

1. 量子信号处理基础公式推导

1.1 基础公式关系

首先，我们有公式 (X_t^ v_i = \exp(\log^+ X_t^ ))。通过对其求微分，可得 (d(X_t^ v_i)=(X_t^ v_i)d\log^+ X_t^ )。进一步，对于 (dM) 有表达式：
[dM = (\log^+ X_t^ )(d|X_t| - dL_t)+(|X_t| - X_t^ v_i)d\log^+ X_t^ ]
这里，由于 (X_t^ ) 仅在 (X_t^ = |X_t|) 时发生变化，且 (d|X_t| = dL_t + dW_t)，其中 (W_t=\int_{0}^{t}\text{Sgn}(X_s)dX_s) 是一个鞅。

1.2 关键推导过程

经过一系列推导，我们得到 (dM^+ = (\log^+ X_t^ )dW_t+(|X_t| - |X_t|^+)v_id\log^+ X_t^ )。又因为 ((|X_t| - |X_t|^+)v_id\log^+ X_t^ = 0)（当 (X_t^ > 1) 时，(X_t^ - X_t^ v_i = 0)；当 (X_t^ < 1) 时，(d\log^+ X_t^ = 0)）。
具体来看，(d\log^+ X_t^ = d[\log(X_t^ )(\theta(X_t^ ) - 1)])，当 (X_t^