20、随机、控制与机器人技术中的物理与数学原理

随机、控制与机器人技术中的物理与数学原理

1. 数学基础与结构方程

在随机、控制与机器人技术领域，有许多重要的数学基础和结构方程。首先，对于一些微分形式有如下定义和关系：
- 设 (w = \alpha w_{\alpha}dX^{\alpha})，(X = X^{\alpha}\partial_{\alpha})，(Y = Y^{\alpha}\partial_{\alpha})，则 ((dW)(X, Y) = \beta w_{\alpha\beta}dX^{\alpha}\wedge dX^{\beta}(X, Y) = w_{\alpha\beta}(X)Y^{\beta}-w_{\alpha\beta}(Y)X^{\beta})。
- (X(w(Y)) = X^{\alpha}\partial_{\alpha}w_{\beta}(Y) = w_{\alpha\beta}(X)Y^{\beta}+w_{\beta\alpha}(Y)X^{\alpha})，(Y(w(Y)) = Y^{\alpha}\partial_{\alpha}w_{\beta}(Y) = w_{\alpha\beta}(Y)X^{\beta}+w_{\beta\alpha}(X)Y^{\alpha})，进而可得 (dw(X, Y)=X(w(Y)) - Y(w(X)) - w([X, Y]))。

设 ({e_a}) 是向量场 (X(m)) 的局部基，定义 (\nabla_{e_b}e_a=\Gamma_{\beta\alpha}^{\sigma}e_{\sigma})，同时引入挠率 (T(X, Y)=\nabla_XY - \nabla_YX - [X, Y])。通过一系列推导，可以得到 Cartan