13、随机过程、控制与机器人技术中的数学问题解析

随机过程、控制与机器人技术中的数学问题解析

1. 随机过程基础与相关公式推导

1.1 随机过程中的积分与期望

在随机过程的研究中，我们会遇到一系列复杂的积分和期望运算。例如，有如下表达式：
[
\begin{align }
&\begin{cases}
g\
\end{cases} \times - \sinh\begin{cases}
\cos(\theta_0 2t t),\
\end{cases} R_t(t) dt dt\
&\equiv R_q(t + t, t)\
&E{\delta\theta(t) t + \tau \delta \cdot \varphi(t)} = 0\
&E{\delta\varphi(t) t + \tau \delta \cdot \varphi(t)} = \int\int (t t + - \tau \theta w w m L^2 2 1 (t t - 2 2 R_t(t), t) dt d_1 2t (\sin 0)^2 2 2 0 0\
&= R_{t\varphi\varphi}(, + \tau t)
\end{align }
]
这些公式描述了随机过程中不同变量之间的关系，通过积分和期望的运算，我们可以对随机过程的性质进行深入分析。

1.2 速率函数的定义

对于区间 ([0, T]) 上的 ((\delta\theta(\cdot), \delta\varphi(\cdot)))，其速率函数定义为